[論文レビュー] Combined Delta-Nabla Sum Operator in Discrete Fractional Calculus

Nuno R. O. Bastos, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、デルタおよびナブラ分数級和の凸線形結合として、新しい離散的分数級作用素、すなわち組み合わせ的デルタ・ナブラ和（ダイヤモンド-γ）を導入する。この作用素は、標準的かつ両方の作用素を一般化し、線形性やライプニッツ型規則といった重要な性質を保ちながら、離散的分数級微積分を統一的な枠組みで扱う。作用素はγ=1のときデルタ作用素に、γ=0のときナブラ作用素に還元される。

ABSTRACT

We introduce a more general discrete fractional operator, given by convex linear combination of the delta and nabla fractional sums. Fundamental properties of the new fractional operator are proved. As particular cases, results on delta and nabla discrete fractional calculus are obtained.

研究の動機と目的

• 離散的分数級微積分における既存のデルタおよびナブラアプローチを、一つのより一般的な作用素に統一すること。
• デルタ分数級和における定義域の不一致問題を解消し、新しい作用素の定義域をナブラのアプローチと一致させること。
• 前向きおよび後向き差分作用素の連続的補間を導入することで、離散集合上での分数級微積分を一般化すること。
• 新しいダイヤモンド-γ作用素に対して、線形性やライプニッツ則といった基礎的性質を確立すること。
• 任意の時間スケールにおける離散的分数級ダイヤモンド差分および変分原理の今後の発展のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 作用素を凸結合として定義する：$({}_{\text{γ}}\bowtie_{a}^{-\text{α},-\text{β}}f)(t) = \text{γ}(\nabla_{a}^{-\text{α}}f)(t+\text{α}) + (1-\text{γ})(\nabla_{a}^{-\text{β}}f)(t)$、ただし$\gamma \in [0,1]$。
• 標準的なデルタおよびナブラ分数級和の定義を用いる：$\Delta_{a}^{-\text{α}}f(t) = \frac{1}{\Gamma(\text{α})}\sum_{s=a}^{t-\text{α}}(t-\sigma(s))^{(\text{α}-1)}f(s)$ および $\nabla_{a}^{-\text{β}}f(t) = \frac{1}{\Gamma(\text{β})}\sum_{s=a}^{t}(t-\rho(s))^{\overline{\text{β}-1}}f(s)$。
• 基礎となるデルタおよびナブラ和の線形性を用いて、作用素の線形性を証明する。
• 関数f(s)およびg(s)をニュートン級数の形に展開し、ポッホハマー記号および上昇階乗を用いて、積のためのライプニッツ型規則を導出する。
• γ=1のとき作用素が標準的デルタ和に、γ=0のときナブラ和に還元されることを示し、既存の枠組みと整合性があることを確認する。
• ガンマ関数および二項係数の性質を用いて、得られた級数表現を$\binom{-\alpha}{k}$および$\binom{-\beta}{k}$を含む簡潔な形に簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デルタおよびナブラ分数級和作用素を、それらの間を連続的に補間する一つの作用素に統一する方法は何か？
• RQ2 このような一般化された離散的分数級作用素の基本的代数的性質（例：線形性、ライプニッツ則）は何か？
• RQ3 新しい作用素は、ナブラの定義域の一貫性を保ちつつ、デルタ作用素の構造を組み込むことができるか？
• RQ4 関数の積に対するダイヤモンド-γ作用素におけるライプニッツ則の形態は何か？
• RQ5 特殊ケースγ=0およびγ=1は、古典的なナブラおよびデルタ分数級和をどのように回復するか？

主な発見

• ダイヤモンド-γ作用素は、$\mathbb{N}_a = \{a, a+1, a+2, \ldots\}$ 上の関数に対して適切に定義されており、同じ定義域に値を返すため、デルタ作用素に内在する定義域の不一致問題を解消する。
• 作用素は線形性を満たす：$({}_{\gamma}\bowtie_{a}^{-\alpha,-\beta}(f+g))(t) = ({}_{\gamma}\bowtie_{a}^{-\alpha,-\beta}f)(t) + ({}_{\gamma}\bowtie_{a}^{-\alpha,-\beta}g)(t)$。
• 一般化されたライプニッツ則が導出された：$({}_{\gamma}\bowtie_{a}^{-\alpha,-\beta}(fg))(t) = \gamma\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\alpha}{k}(\nabla^{k}g)(t)(\Delta_{a}^{-(\alpha+k)}f)(t+\alpha+k) + (1-\gamma)\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\beta}{k}(\nabla^{k}g)(t)(\Delta_{a}^{-(\beta+k)}f)(t+\beta+k)$。
• γ=0のとき、ライプニッツ則は既知のナブラ分数級積の法則に還元される：$(\nabla_{a}^{-\beta}(fg))(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\beta}{k}[(\nabla^{k}g)(t)][(\Delta_{a}^{-(\beta+k)}f)(t+\beta+k)]$。
• γ=1のとき、ライプニッツ則はデルタ分数級積の法則を回復する：$(\Delta_{a}^{-\alpha}(fg))(t+\alpha) = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{-\alpha}{k}[(\nabla^{k}g)(t)][(\Delta_{a}^{-(\alpha+k)}f)(t+\alpha+k)]$。
• この枠組みは、任意の時間スケールへの離散的分数級微積分の拡張およびダイヤモンド-γ作用素を用いた分数級変分原理の開発の基盤を提供する。