[論文レビュー] Combining the Shortest Paths and the Bottleneck Paths Problems

Tong-Wook Shinn, Tadao Takaoka|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、最短経路とボトルネック経路の目的を統合して、すべての可能なフロー需要を満たす最短ルートを特定する問題である『すべてのフローのための最短経路（SP-AF）』を導入する。整数辺コストをもつ有向グラフにおいて、単一始点（SSSP-AF）および全点対（APSP-AF）の変種に対して、効率的なアルゴリズムを提示し、バケツベースの優先度キューとフローサイズに依存する経路緩和法を用いて、それぞれ$O(m^2 + nc)$および$O(m^2n + mn^2"log(c/mn))$の時間計算量を達成する。

ABSTRACT

We combine the well known Shortest Paths (SP) problem and the Bottleneck Paths (BP) problem to introduce a new problem called the Shortest Paths for All Flows (SP-AF) problem that has relevance in real life applications. We first solve the Single Source Shortest Paths for All Flows (SSSP-AF) problem on directed graphs with unit edge costs in $O(mn)$ worst case time bound. We then present two algorithms to solve SSSP-AF on directed graphs with integer edge costs bounded by $c$ in $O(m^2 + nc)$ and $O(m^2 + mn\log{(\frac{c}{m})})$ time bounds. Finally we extend our algorithms for the SSSP-AF problem to solve the All Pairs Shortest Paths for All Flows (APSP-AF) problem in $O(m^{2}n + nc)$ and $O(m^{2}n + mn^{2}\log{(\frac{c}{mn})})$ time bounds. All algorithms presented in this paper are practical for implementation.

研究の動機と目的

• 緊急避難やネットワークルーティングなどの現実世界のルーティング課題において、フロー容量と経路長を同時に最適化する必要があることに対処すること。
• 最短経路問題とボトルネック経路問題の両方を一般化する、新しいグラフ問題「すべてのフローのための最短経路（SP-AF）」を形式化すること。
• 非負の整数辺コストをもつ有向グラフにおいて、SSSP-AFおよびAPSP-AFの実用的で効率的なアルゴリズムを設計すること。
• フローサイズに依存する緩和法とバケツベースの優先度キューを活用することで、単純なアプローチよりも優れた時間計算量を達成すること。

提案手法

• フローインデックスに基づく緩和戦略を提案。経路は、それらがサポートできる最大フローに基づいて更新され、整数にマップされたフローバリューがインデックスとして使用される。
• 四重組（u,v,d,f）の優先度キューを用いた、変更されたダイクストラに類似したアルゴリズム。各ソース・ディスティネーションペアについて、距離dとフロー容量fを追跡する。
• 単位コストグラフにおけるSSSP-AFの$O(m^2 + nc)$時間計算量を達成するために、一次元バケツシステムを採用。
• 一般の整数コストにおいて、時間計算量を$O(m^2 + mn\log(c/m))$まで低減するために、k段階の段階的バケツシステムを適用。
• SSSP-AFフレームワークを全点対（APSP-AF）に拡張するため、すべてのソース・ディスティネーションペアとフロー値に対して2次元配列$D^f[u][v]$を維持する。
• すべての四重組（u,v,d,f）をカバーするグローバル優先度キューを用い、経路再構築のための先行ノード追跡を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最短経路問題は、経路がすべての必要なフローデマンドを満たすように拡張可能であり、混雑を回避できるか？
• RQ2 整数辺コストをもつ有向グラフにおけるSSSP-AFの最適時間計算量は何か？
• RQ3 SSSP-AFアルゴリズムは、全点対の最短経路問題（APSP-AF）を効率的に解くためにどのように拡張可能か？
• RQ4 バケツベースの優先度キューの使用は、SP-AF問題において標準的なダイクストラ法よりも性能を著しく向上させられるか？

主な発見

• 単位コストグラフにおけるSSSP-AF問題は、単純な優先度キューを用いたフローインデックスベースの緩和法により$O(mn)$時間で解ける。
• 辺コストが$c$未満に制限される整数コストの場合、1次元バケツシステムを用いてSSSP-AF問題は$O(m^2 + nc)$時間で解ける。
• 代替的なSSSP-AFアルゴリズムは、k段階の段階的バケツシステムを用いて$O(m^2 + mn\log(c/m))$時間で実行可能である。
• APSP-AF問題は、同じバケツベースのアプローチを用いて$O(m^2n + nc)$時間で解ける。
• 最適化された段階的バケツ構造を用いることで、改善されたAPSP-AFアルゴリズムは$O(m^2n + mn^2\log(c/mn))$時間で実行可能である。
• 提案されたアルゴリズムは実用的であり、フローサイズに依存する経路緩和法と効率的な優先度キューのデータ構造を活用することで、単純な手法を上回る性能を発揮する。