[論文レビュー] Combining typing and size constraints for checking the termination of higher-order conditional rewrite systems

Frédéric Blanqui, Riba, Colin|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2006

Logic, programming, and type systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、型付けとサイズ制約、およびプレスブルガー算術制約を統合することで、高階条件付き書き換え系のための新しい終了基準を提示する。これにより、入出力サイズの関係を正確に追跡でき、従来の型に基づく手法よりもより複雑な関数の終了性検証が可能となり、かつ、書き換え規則自体の条件を考慮に入れる最初のこのような基準である。

ABSTRACT

In a previous work, the first author extended to higher-order rewriting and dependent types the use of size annotations in types, a termination proof technique called type or size based termination and initially developed for ML-like programs. Here, we go one step further by considering conditional rewriting and explicit quantifications and constraints on size annotations. This allows to describe more precisely how the size of the output of a function depends on the size of its inputs. Hence, we can check the termination of more functions. We first give a general type-checking algorithm based on constraint solving. Then, we give a termination criterion with constraints in Presburger arithmetic. To our knowledge, this is the first termination criterion for higher-order conditional rewriting taking into account the conditions in termination.

研究の動機と目的

• 複雑なサイズ依存性を有する高階条件付き書き換え系を扱う際に、従来の型に基づく終了技法の限界を克服すること。
• サイズの注釈、明示的な全称および存在記号の量化、サイズに関する制約を統合した形式的枠組みを構築し、出力サイズと入力サイズの関係を正確にモデル化すること。
• 条件付き書き換え規則内の条件を考慮に入れた終了基準を提供することであり、これまでは無視されていた。
• プレスブルガー算術における制約の解法を用いた自動終了検査を可能とし、サイズに基づく終了性の先行研究を拡張すること。
• Coqのような証明支援系への統合を可能とする基盤を築くこと。特に、従属型および多相型をサポートすること。

提案手法

• 基本型がサイズ注釈でインデックス化された型システムを導入し、項にサイズの上限を反映する型を割り当てられるようにする。
• 入力と出力間の複雑なサイズ関係を表現するために、サイズ変数に関する明示的な存在記号および全称記号の量化を導入する。
• 条件付き書き換え規則に、規則が適用可能であるために満たされなければならない制約を付加し、これらの制約がサイズの減少と整合性を持つことを検証する。
• サイズ制約をプレスブルガー算術で表現する制約の解法を用いた一般化された型チェックアルゴリズムを定義する。
• すべての再帰呼び出しにおいて、型と制約システムによって保証されるように、引数のサイズが厳密に小さいことを確認することで、終了基準を構築する。
• 高階関数と帰納型をサポートするが、実用性を高めるために、一階のパターンマッチを主眼とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件付き書き換え規則内の条件を考慮に入れながら、サイズに基づく終了性を高階条件付き書き換え系に拡張できるか。
• RQ2 サイズ注釈と制約を型システムに統合することで、再帰呼び出しにおけるサイズの減少を正確に記述できるか。
• RQ3 プレスブルガー算術における制約の解法を用いた、高階条件付き書き換えの形式的終了基準を定義できるか。
• RQ4 このアプローチにより、部分項順序の下で単純に終了しない関数の終了性を検証できるか。
• RQ5 このようなシステムを、証明支援系で使用される従属型および多相型をサポートするようにどのように適合できるか。

主な発見

• 提案手法は、部分項順序の下で単純に終了しない、Mc Carthyの91関数の終了性を成功裏に検証した。
• 存在記号によるサイズ変数の量化を必要とする「pivot」のような複雑な関数の型チェックが可能である。
• この終了基準は、条件付き書き換え規則内の条件を終了検査に明示的に考慮する最初のものである。
• 高階関数と帰納型をサポートし、従来のサイズに基づく終了性の研究を、条件付きでより表現力の高いシステムへと拡張した。
• 対象とするシステムのクラスにおいて、妥当性と完全性が保証され、プレスブルガー算術における制約の下でのサイズの減少によって終了性が証明される。
• フレームワークは多相型および従属型システムへ拡張可能であり、Coqへの統合可能性についての予備的結果が得られ、実現可能性が示唆されている。