[論文レビュー] Comet and moon solutions in the time-dependent restricted $(n+1)$-body problem

Carlos Barrera-Anzaldo, Abimael Bengochea+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、作用関数に対するリャプノフ＝シュミット還元を用いて、時間に依存する制限的(n+1)体問題における周期的でコメット的・月に似た軌道の存在を確立する。大振幅で主星から離れた軌道（コメット解）に対しては、周波数p/q、振幅ε⁻¹の2πq周期解が少なくとも2つ存在することを証明する。ここでε = (p/q)²/(α+1)である。小振幅で主星に近い軌道（月解）に対しては、相対的平衡状態の下で、周波数p/q、振幅εの2πq周期解が少なくとも2つ存在することを証明する。ここでε = (p/q)⁻²/(α+1)である。重力的状況α=2は対称性の仮定の下で取り扱われ、4体の主星を有するスーパーエイト・チョレオグラフィーに関して、反転対称性技術を用いて数値解が計算された。

ABSTRACT

The time-dependent restricted $(n+1)$-body problem concerns the study of a massless body (satellite) under the influence of the gravitational field generated by $n$ primary bodies following a periodic solution of the $n$-body problem. We prove that the satellite has periodic solutions close to the large-amplitude circular orbits of the Kepler problem (comet solutions), and in the case that the primaries are in a relative equilibrium, close to small-amplitude circular orbits near a primary body (moon solutions). The comet and moon solutions are constructed with the application of a Lyapunov-Schmidt reduction to the action functional. In addition, using reversibility technics, we compute numerically the comet and moon solutions for the case of four primaries following the super-eight choreography.

研究の動機と目的

• n体の主星が一般の周期的解に従う時間に依存する制限的(n+1)体問題において、周期的コメット的・月的解の存在を確立すること。
• 一般の同次ポテンシャル下での人工衛星の運動を解析し、特に大振幅（コメット的）および小振幅（月的）の周期的軌道に注目すること。
• 時間に依存する主星の重力場を摂動として扱うことで、古典的ケプラー問題の枠組みを拡張すること。
• 月の軌道に関して相対的平衡条件、重力的状況（α=2）に関して対称性を仮定した下で、コメット的・月的解の解析的存在結果を提供すること。
• 特に4体のスーパーエイト・チョレオグラフィーに関して、反転対称性技術を用いてこれらの軌道を数値的に計算すること。

提案手法

• 正則化作用関数A = A₀ + Hにリャプノフ＝シュミット還元を適用する。ここでA₀はケプラー作用、Hはεのオーダーの小さな摂動である。
• Fourier解析を用いてA₀のヘッセ行列のスペクトルを推定し、有限次元の臨界点問題への還元を可能にする。
• コメット解を、周波数p/q、振幅ε⁻¹の大きな振幅の円形ケプラー軌道の摂動として構成する。ここでε = (p/q)²/(α+1)である。
• 月解を、主星に近い小振幅の軌道の摂動として構成する。周波数はp/q、振幅はε、ここでε = (p/q)⁻²/(α+1)である。主星が相対的平衡にあるものと仮定する。
• 運動方程式に反転対称性Φ₁ˣ, Φ₁ʸ, Ψ₁ˣ, Ψ₁ʸを適用し、固定点条件を満たす境界値問題を定義する。
• 初期条件(q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)を満たす解を求める。ここで、流れφ₀(α,0,0,β)がFix(Φ₁ˣ)またはFix(Ψ₁ˣ)に属し、φₜ₀(α,0,0,β)がFix(Φ₁ʸ)またはFix(Ψ₁ʸ)に属するようにする。T₀ = 4mTとし、m ∈ ℕとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する制限的(n+1)体問題において、主星から遠く離れた位置に周期的コメット的軌道が存在する条件は何か？
• RQ2 n体の主星が相対的平衡状態にあるとき、主星の周囲に周期的月的軌道が存在可能か？
• RQ3 重力的状況（α=2）は周期的解の存在にどのように影響するか。さらにどのような追加の対称性仮定が必要か？
• RQ4 解析的定理が適用できない場合に、反転対称性技術を用いて周期的コメット的・月的軌道を数値的に計算可能か？
• RQ5 4体の主星がスーパーエイト・チョレオグラフィーを描く制限的5体問題において、対称的かつ周期的なコメット的・月的軌道を生成する質量無視の人工衛星の具体的な初期条件（位置と速度）は何か？

主な発見

• 任意の整数pに対し、整数q₀が存在し、すべてのq > q₀に対して、コメット軌道はq(t) = ε⁻¹e^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε)の形の2πq周期解を少なくとも2つ持つ。ここでε = (p/q)²/(α+1)であり、x₀ = (1,0) ∈ ℝ²、Jはシンプレクティック行列である。
• 任意の整数qに対し、整数p₀が存在し、すべてのp > p₀に対して、月軌道はq(t) = q₁(t) + εe^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε³)の形の2πq周期解を少なくとも2つ持つ。ここでε = (p/q)⁻²/(α+1)であり、主星が相対的平衡にあるものと仮定する。
• 重力的状況（α=2）では、主星が常にm角形を形成するという条件下で周期的解の存在が確立される。これはn=4のスーパーエイト・チョレオグラフィーにおいて成り立つ。
• 反転対称性を用いた境界値問題の解法により、コメットおよび月の軌道を数値的に計算可能であり、周期的軌道はT₀ = 4mT（m ∈ ℕ）のとき得られる。
• 人工衛星の初期条件は次のように計算された：コメット軌道では(q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)であり、αは1.47から6.42、βは0.81から3.97の範囲で変動する。月軌道でも同様の形が得られ、T₀ = 4mTのとき対称的周期的解が得られる。
• 数値的結果は、4体の主星がスーパーエイト・チョレオグラフィーを描く制限的5体問題において、対称的かつ周期的なコメット的・月的軌道が存在することを確認しており、図1に視覚化されている。