[論文レビュー] Commability and focal locally compact groups

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、共(compact)埋め込みとコンパクト正規部分群による商を生成する局所コンパクト群の新たな同値関係である「commability」を導入し、焦点的双曲的局所コンパクト群をcommabilityに関して分類する。主な結果として、群の関連空間への作用の成長率に関連する実数パラメータが、擬等長不変量であることが特定され、この不変量と整数パラメータkを用いて、混合型焦点的群の完全分類が可能となる。

ABSTRACT

We introduce the notion of commability between locally compact groups, namely the equivalence relation generated by cocompact inclusions and quotients by compact normal subgroups. We give a classification of focal hyperbolic locally compact groups up to commability. In the mixed case, it involves a real parameter, which is shown to be a quasi-isometry invariant.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群におけるcommabilityを定義・研究し、離散的状況における共通可測性を一般化する同値関係とする。
• 特に混合型の場合を含め、焦点的双曲的局所コンパクト群をcommabilityに関して分類すること。
• 群の関連空間への作用から導かれる実数パラメータが、擬等長不変量であることを特定すること。
• アーベル的可解部分群をもつmillefeuille空間の擬等長分類を、commabilityを用いて確立すること。
• commabilityとL^pコホモロジー、およびDymarzによるq不変量の擬等長不変性を結びつけること。

提案手法

• commabilityの構成要素として、連続的で、固有で、像が共コンパクトであるホモオモルフィズム（copciホモオモルフィズム）の概念を導入する。
• 局所コンパクト群の間で、両方向のcopciホモオモルフィズムによって生成される同値関係としてcommabilityを定義する。
• すべてのコンパクト正規部分群の和集合である多孔性半径W(G)を用い、Trofimovの定理を用いて、コンパクト生成群においてそれが閉じていることを証明する。
• Heintze群の理論とその関連パラメータ（指数ϖおよびq不変量）を用いて、混合型焦点的群を分類する。
• XieによるHeintze群の結果とDymarzによるq不変量の擬等長不変性を組み合わせ、分類基準を導出する。
• ϖが擬等長不変量であるという事実に依拠し、幾何的不変量を代数的分類に応用可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群に対して、共通可測性を一般化し、擬等長に保存する新たな同値関係を定義できるか？
• RQ2 焦点的群の作用の成長率に関連するパラメータϖが、擬等長不変量であるか？
• RQ3 混合型焦点的群において、パラメータϖとkを用いて、擬等長同値類を完全に分類できるか？
• RQ4 Dymarzによって導入されたq不変量は、millefeuille空間の文脈において、共通可測性および擬等長に保存されるか？
• RQ5 アーベル的可解部分群をもつmillefeuille空間の分類は、関連行列および整数kに関する代数的条件に還元可能か？

主な発見

• スケーリング論法を用いたリーマン計量およびBusemann関数の考察により、焦点的局所コンパクト群においてϖが擬等長不変量であることが示された。
• 混合型焦点的群では、不変量ϖがlog(k)/log(δ₀)に等しく、擬等長に不変のままである。
• kの最大根として定義されるq不変量は、擬等長不変量であり、共通可測性に対しても保存される。
• 2つのmillefeuille群G(A₁,k₁)とG(A₂,k₂)が擬等長であるための必要十分条件は、それらがcommableであることであり、これはk₁^{n₁} = k₂^{n₂}かつA₁^{n₁}がA₂^{n₂}に共役であるような整数n₁,n₂ ≥ 1が存在するときに限り成立する。
• アーベル的可解部分群をもつmillefeuille空間の分類は、行列Aと整数kに関する代数的条件に還元され、不変量ϖとqが中心的な役割を果たす。
• 商群G/G^♯が予想1.15を満たすならば、元の焦点的群Gに対しても同様に成立する。これは還元原理を確立する。