[論文レビュー] Comment on "Conceptual Inadequacy of Shannon Information ..." by C. Brukner and A. Zeilinger

Michael J. W. Hall|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Neural Networks and Applications参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ブルクナーとツァイラーイングの（2000年）論文におけるシャノン自己エントロピーとフォン・ノイマンエントロピーに関する批判に反論し、彼らのシャノン自己エントロピーの拒否が連続測定に依存する狭義の解釈に基づいていると主張する。非重複するアンサンブルと混合によるシャノン自己エントロピーに物理的解釈を与え、古典的および量子的不確実性の間の幾何的かつ操作的な深い関連性を、一意の体積に基づく測度を通じて確立する。量子情報測度は、すべての可観測量について古典的測度の平均として与えられることを示す。

ABSTRACT

It is pointed out that the case for Shannon entropy and von Neumann entropy, as measures of uncertainty in quantum mechanics, is not as bleak as suggested in quant-ph/0006087. The main argument of the latter is based on one particular interpretation of Shannon's H-function (related to consecutive measurements), and is shown explicitly to fail for other physical interpretations. Further, it is shown that Shannon and von Neumann entropies have in fact a common fundamental significance, connected to the existence of a unique geometric measure of uncertainty for classical and quantum ensembles. Some new properties of the ``total information'' measure proposed in quant-ph/0006087 are also given.

研究の動機と目的

• ブルクナーとツァイラーイング（2000年）の主張、すなわちシャノン自己エントロピーが量子測定において根本的に不適切であるという主張に反論すること。
• シャノン自己エントロピーに対する反論が、連続測定に依存する特定の狭義の解釈に基づいていること、それが普遍的ではないことを示すこと。
• 非重複する確率分布の混合に基づく、シャノン自己エントロピーの物理的に意味のある解釈を確立すること。
• 一意の体積に基づく不確実性測度を通じて、古典的シャノン自己エントロピーと量子フォン・ノイマン自己エントロピーの間の深い幾何的・操作的関連性を示すこと。
• 量子全情報測度 $ I(\rho) $ が、補完的可観測量の存在に依存しない形で、すべての可観測量について古典的 $ I(A) $ の平均に等しいことを証明すること。

提案手法

• 連続測定に依存しない非重複するアンサンブルと混合に起因する不確実性を用いて、シャノン自己エントロピーのグループ化公理を再定式化する。
• シャノン自己エントロピーの対称性および連続性の公理を用いて、標準形 $ H(p) = -C \sum p_i \ln p_i $ を導出する。
• アンサンブル体積に基づく幾何的不確実性測度を導入し、加法性およびユニタリ変換に対して不変である性質を満たす。
• 鍵となる恒等式 $ I(\rho) = (n+1) \int I(UAU^\dagger) dU $ を導出し、量子情報測度がすべての可観測量についての平均として表されることを示す。
• ユニタリ変換におけるハール測度と純粋状態における不変積分を用いて、$ I(A) $ の平均を計算する。
• 既知の $ |\langle a|b\rangle|^2 $ の分布に関する結果を用いて積分を評価し、平均における比例定数を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続測定に基づく主張が、量子力学におけるシャノン自己エントロピーの不適切さを正当化するのには有効か？
• RQ2 シャノン自己エントロピーは連続測定に依存しない物理的解釈を与えられるか？
• RQ3 古典的および量子的不確実性測度を統合する幾何的または操作的根拠は存在するか？
• RQ4 完全な補完的可観測量の集合が存在しない場合でも、量子全情報測度 $ I(\rho) $ は有効に保たれるか？
• RQ5 量子情報測度は、すべての可観測量について古典的測度の平均として表現可能か？

主な発見

• ブルクナーとツァイラーイング（2000年）の主張は、連続測定に依存する特定の解釈に基づくため、失敗する。
• シャノン自己エントロピーは、非重複するアンサンブルの混合に基づき、物理的に意味のある解釈を持つ。混合確率に起因する不確実性は加法的に増加する。
• ファドデエフ形式のグループ化公理は、連続測定を参照せずに再解釈可能であり、その有効性は保たれる。
• 古典的および量子的アンサンブルの両方について、一意の幾何的不確実性測度が存在する。非重複するアンサンブルの混合の体積は加法性を満たす。
• 量子全情報測度 $ I(\rho) $ は $ (n+1) \int I(UAU^\dagger) dU $ に等しく、すべての可観測量についての不変性と普遍性を示す。
• すべての可観測量について古典的 $ I(A) $ の平均は、量子的 $ I(\rho) $ に一致し、$ n+1 $ 個の相互に補完的な可観測量が存在するかどうかにかかわらず成り立つ。