[論文レビュー] Comment on "Entanglement growth in diffusive systems"

Tibor Rakovszky, Frank Pollmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Žnidarič (2020) が提唱した、拡산系における高次 Rényi エントロピーが一般に力学的（ballistic）に増加するとする主張に反論し、代わりに √t 増加がはるかに広く見られることが示されている。U(1) 対称性を有する q=3 のランダム回路モデルを用いて、保存量が存在しない領域（凍結領域）が存在する条件のもとで、エンタングルメント エントロピー S₂ が √t に比例して増加することを示した。これは、スピン 1/2 システムに限らず、高次元系においても √t スケーリングの頑健性が裏付けられることを示している。

ABSTRACT

In a recent paper (Commun. Phys. 3, 100) Znidaric studies the growth of higher Renyi entropies in diffusive systems and claims that they generically grow ballistically in time, except for spin-1/2 models in d=1 dimension. Here, we point out that the necessary conditions for sub-ballistic growth of Renyi entropies are in fact much more general, and apply to a large class of systems, including experimentally relevant ones in arbitrary dimension and with larger local Hilbert spaces.

研究の動機と目的

• Žnidarič (2020) が提唱した、q>2 の局所ヒルベルト空間次元を持つ大多数の拡散系において、高次 Rényi エントロピー（Sα>1）が力学的に増加するとする主張に反論すること。
• 局所ヒルベルト空間次元 q に依存せず、単一の U(1) 対称性と凍結領域条件（FRC）を有する系において、Rényi エントロピーの非力学的（sub-ballistic）な √t 増加が一般に成立することを示すこと。
• 対称性により特定の配置が動的になくなること（即ち、凍結領域条件）が、√t 増加を可能にする主要因であることを明確にすること。これは、局所ヒルベルト空間の次元 q の大きさとは無関係である。
• 先行研究との時間単位のスケーリングの不一致を解消し、標準的な微視的時間単位を用いることで、拡散的増加が系サイズに依存しない時間スケールで発現することを示すこと。
• e^{S₂} を計算的複雑性の指標と解釈することに注意を喚起し、高次 Rényi エントロピーが状態の完全な情報を反映するのではなく、主に縮約密度行列の最大固有値の振る舞いを反映していることの重要性を強調すること。

提案手法

• 局所自由度 q=3（空、上、下）を有するランダム回路モデルを構築し、全粒子数を保存する U(1) 対称性を保つが、スピンは保存しない。
• このモデルにおいて、第二 Rényi エントロピー S₂ のアンネールド平均を数値的に評価し、空の状態を含む・含まない初期状態を比較する。
• 凍結領域条件（FRC）形式論を適用：時間発展演算子をブロック対角化した際に、系サイズに依存せず、あるブロックに1つの状態しか存在しない場合、FRC を満たすと定義する。
• Huang (2019) や Rakovszky et al. (2019) の解析的枠組みを q>2 の系へ拡張し、FRC の下で √t 増加が継続することを示した。
• Žnidarič (2020) の時間スケーリングを再解釈し、系サイズ依存の時間単位から標準的な微視的時間単位に変換することで、内在的な拡散的ダイナミクスを明らかにした。
• 保存量の積から生じる水圧的尾部（hydrodynamic tails）により、(S_j^z)^2 のような演算子が指数的減衰ではなく、べき乗則で減衰することを主張し、これは √t 増加の持続を説明する。これにより、非保存演算子では指数的減衰が仮定されるのとは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Žnidarič (2020) が主張するように、高次 Rényi エントロピー Sα>1 の非力学的増加は、q=2 スピン 1/2 モデルに限定されるのだろうか？
• RQ2 凍結領域条件（FRC）のみが、局所ヒルベルト空間次元 q に依存せず、U(1) 対称性を持つ系で Rényi エントロピーの √t 増加を保証するのだろうか？
• RQ3 Žnidarič (2020) の数値結果が有限サイズ効果を示すのはなぜか？また、時間単位のスケーリングはエンタングルメント増加ダイナミクスの解釈にどのように影響するか？
• RQ4 q>2 の系において、保存量の積から生じる (S_j^z)^2 のような演算子のべき乗則減衰が、√t エンタングルメント増加をどの程度支持するか？
• RQ5 e^{S₂} を計算的複雑性の指標と解釈することは正当化できるだろうか？それとも、これは状態の情報含量を誤解を招く形で表現しているのか？

主な発見

• U(1) 対称性を有する q=3 ランダム回路モデルにおいて、アンネールド平均 S₂ を数値的に評価した結果、全3状態（空、上、下）を含む一般の初期状態に対し、√t 増加が観測された。これは、Žnidarič (2020) が予測した t-増加（力学的増加）とは矛盾する。
• 凍結領域条件（FRC）が √t エンタングルメント増加を可能にする主要な物理的メカニズムであることが特定された。これは q の値とは無関係である。FRC は、S^z を保存するスピン S システムや、粒子数を保存するフェルミオン系・ハードコアボソン系においても満たされる。
• FRC は d=1 や q=2 に限定されない。任意次元の実験的に関連性の高い多くの系に適用可能であり、スピン鎖、U→∞ 限界におけるフェルミオン Hubbard モデル、部分的対称性保存を有する2本のラダー系が含まれる。
• Žnidarič (2020) との不一致は、(S_j^z)^2 のような演算子が保存されない限り指数的減衰するという誤った仮定に起因する。実際には、保存量の積に起因する水圧的尾部により、べき乗則で減衰する。このため、√t 増加が持続する。
• 時間単位を系サイズ依存のものから標準的な微視的時間単位に変換すると、拡散的 √t 増加は系サイズに依存しない時間スケールで発現することが判明し、先行研究における見かけの有限サイズ効果が解消された。
• e^{S₂} を計算的複雑性の指標と解釈することは誤りである。S₂ は縮約密度行列の最大固有値に支配されており、低次 Rényi エントロピー（Sα≤1）が、拡散系でさえ時間に線形に増加するため、状態の完全な複雑性をより適切に特徴づける。