[論文レビュー] Comment on "Essential discreteness in generalized thermostatistics with non-logarithmic entropy" by S. Abe

G. Baris Bagci, Thomas Oikonomou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、S. Abeが提唱する『qエントロピーは本質的に離散的であり、連続変数に一般化できない』という主張に挑戦する。q一般化測度 m_q(x) を用いてボルツマン＝ギブズエントロピーの形式的拡張をqエントロピーへと拡張することで、次元なしで座標変換不変なq相対エントロピーとして連続的qエントロピーを導出する。主な結果は、qエントロピーが離散系および連続系の両方に対して同等に有効であり、一般化した熱力学における基礎的問題を解決することである。

ABSTRACT

Recently Abe (arXiv:cond-mat/1005.5110v1) claimed that the q-entropy of nonextensive statistical mechanics cannot be generalized for the continuous variables and therefore can be used only in the discrete case. In this letter, we show that the discrete q-entropy can be generalized to continuous variables exactly in the same manner as Boltzmann-Gibbs entropy, contrary to the claim by Abe, so that q-entropy can be used with discrete as well as continuous variables.

研究の動機と目的

• S. Abeの主張、すなわちqエントロピーが連続変数に一般化できないという主張を反証すること。
• q一般化測度 m_q(x) を用いて、連続ボルツマン＝ギブズエントロピーの形式的拡張を非加法的qエントロピーへと拡張すること。
• 導出された連続的qエントロピーが次元なしであり、座標変換に対して不変であることを示すこと。これはボルツマン＝ギブズの場合と同様の性質である。
• 従来の取り扱いにおいて連続qエントロピーが意味不明または発散するとみなされた不整合を解消すること。

提案手法

• 非加法性を反映するためのq一般化測度 m_q(x_i) を導入することで、離散BGエントロピーを連続変数へ拡張する標準的手続きをqエントロピーに適応する。
• n→∞の極限において、p_i = ρ(x_i)/(n m_q(x_i)) を用いて離散確率を連続的密度に写像する。
• q対数関数 ln_{2−q}(x) = (x^{1−q}−1)/(1−q) を用いて、確率密度に基づく離散的qエントロピーを定義する。
• 連続的qエントロピーを S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x)) として導出し、これはq相対エントロピーに相当する。
• 物理的に測定可能なのはエントロピーの差のみであるため、n→∞の極限における発散項 ln_{2−q}(n) を無視する。
• 連続的qエントロピーが次元なしであり、座標変換に対して不変であることを示すことで、結果の妥当性を検証する。これはBGの場合と同様の性質である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非加法的統計力学におけるqエントロピーは、ボルツマン＝ギブズエントロピーと同様に連続変数へ一貫して一般化可能か？
• RQ2 連続的qエントロピーは、次元の問題や不変性の欠如といった、標準的連続BGエントロピーの問題を同じように抱えるか？
• RQ3 離散qエントロピーのn→∞極限において生じる発散項 ln_{2−q}(n) は物理的に意味のあるものか、それとも一貫して無視可能か？
• RQ4 得られた連続的qエントロピーは、次元なしで座標変換に対して不変であるという、重要な物理的性質を保持するか？

主な発見

• 連続的qエントロピーは S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x)) として導出され、これはq相対エントロピーであり次元がない。
• n→∞極限における発散項 ln_{2−q}(n) は、物理的に測定可能なのはエントロピーの差のみであるため無視され、物理的発散の問題が解決される。
• 得られた連続的qエントロピーは、連続BGエントロピーと同様に、連続変数の再パrametrizationに対して不変である。
• 形式的枠組みは、BGエントロピーの拡張をqエントロピーへ数学的に整合的かつ物理的に意味のある形で一般化する。
• 結果として、qエントロピーは離散系および連続系の両方に対して有効であり、Abeの本質的離散性に関する主張を反証する。