[論文レビュー] Comment on "Foundation of Statistical Mechanics under Experimentally Realistic Conditions"

Zhexuan Gong, Luming Duan|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Reimann (2008) が提示した、孤立系における量子多体系が一般条件下で平衡化することを主張する主張に反論し、時間平均分散の上限を示す証明における重大な欠陥を明らかにする。著者らは、実験的に現実的な系では、時間平均に寄与するとされる項が、エネルギー準位の密集したスペクトルに起因する指数関数的に多くの準共鳴項を含むため、非対角項（$j=n, k=m$）のみが寄与すると仮定することは誤りであり、その結果、フラクチュエーションの指数的抑制が正当化されないことを示している。

ABSTRACT

Reimann [Phys. Rev. Lett. 101, 190403 (2008)] claimed that generic isolated macroscopic quantum system will equilibrate under experimentally realistic conditions by proving a theorem. We here show that the proof is invalid for most many-body systems and is unable to demonstrate equilibration in realistic experiment.

研究の動機と目的

• 孤立系における量子多体系の平衡化証明におけるReimann (2008) の重大な欠陥を特定・暴露すること。
• 時間平均分散に寄与するとされる項が、実験的に現実的な条件下で非対角項（$j=n, k=m$）のみに限られるとする仮定が誤りであることを示すこと。
• 多体系のエネルギースペクトルが指数的に密集しているため、非ゼロの時間平均行列要素を持つ指数的多数の準共鳴項が存在することを示すこと。
• 非対角項の寄与が無視できないことから、観測量のフラクチュエーションに対する指数的抑制の主張が正当化されないことを論じること。
• Reimannの証明における二つの条件（初期エネルギー分布の広がりと観測量の有界性）が、追加の制約なしでは平衡化を保証しないことを明確にすること。

提案手法

• Reimannの式(11)における時間平均分散の式 $\sigma_A^2 = \overline{[\text{Tr}(\rho(t)A) - \text{Tr}(\rho_{\text{eq}}A)]^2}$ を分析し、位相因子 $\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$ に注目する。
• 核心的な誤りを特定：Reimannは、時間平均において $j=n$ および $k=m$ の項のみが生き残ると仮定し、他のすべての項を無視している。
• 二次的ハミルトニアン（例：相互作用のない準粒子）の場合、$E_j - E_k + E_m - E_n = 0$ が $j_i + m_i = k_i + n_i$ によって満たされ、非対角解が指数関数的に多く存在することを示す。
• 一般の多体系ではエネルギースペクトルが指数的に密集しているため、有限時間窓 $T$ に対して、$|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$ を満たす非ゼロの時間平均行列要素を持つ指数的多数のエネルギー差が存在する。
• このようなエネルギー差を解像するには、宇宙の年齢をはるかに超える時間スケールが必要であり、実験的に現実的な系では時間平均が物理的に意味を持たないことを主張する。
• 結論として、$\sigma_A^2$ の抑制が $\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ によって行われるとされるが、これはこれらの共鳴項を無視した結果の誤った簡略化であり、実験的に現実的な条件下では成立しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立系における量子多体系の観測量の時間平均分散が、Reimannの二つの条件のもとで指数的に消えることは真か？
• RQ2 実験的に現実的な多体系において、時間平均分散式における非対角項（$j \neq n$ または $k \neq m$）は無視できるか？
• RQ3 エネルギースペクトルの指数的密集性を考慮すると、有限時間平均によってスペクトルを解像できるか？
• RQ4 実験的に現実的な条件下で、$\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$ が非対角項に対して消えるという仮定は妥当か？
• RQ5 すべての共鳴項を正しく取り入れた場合、Reimannの証明におけるフラクチュエーションの指数的抑制は成立するか？

主な発見

• Reimann (2008) の式(1)の証明は、時間平均分散式における指数的多数の非対角項を不適切に無視しているため、誤りである。
• 二次的ハミルトニアンでは、$j=n, k=m$ の対角項以外にも、$j_i + m_i = k_i + n_i$ のような指数的多数の解が存在する。
• 一般の多体系ではエネルギースペクトルが指数的に密集しており、有限時間窓 $T$ に対して $|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$ を満たす準共鳴項が指数的多数存在する。
• これらの準共鳴項は時間平均に非ゼロで寄与するため、対角項のみが重要であるという仮定は誤りである。
• 数百粒子の系では、スペクトルのエネルギー差を解像するには、宇宙の年齢をはるかに超える時間が必要であり、実際には時間平均が物理的に意味を持たない。
• したがって、$\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ による $\sigma_A^2$ の指数的抑制は、誤った簡略化に起因する結果であり、実験的に現実的な条件下では成立しない。