[論文レビュー] Comment on `Non-existence of the Luttinger-Ward functional and misleading convergence of skeleton diagrammatic series for Hubbard-like models'

R. Eder|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Kozikらの主張であるLuttinger-Ward汎関数が Hubbard 型モデルに対して存在しないという結論に反論する。物理的に妥当な $ G_0^{-1}(u) $ の解析的仮定のもとで、自己エネルギー $ \Sigma(u) $ と非相互作用グリーン関数 $ G_0(u) $ は正確な $ G(u) $ によって一意に決定され、数値解における非解析的 $ G_0^{-1} $ に起因する彼らの結果の見かけ上の曖昧さが解消される。

ABSTRACT

The known analytical properties of the Green's function and self-energy rule out an ambiguity of the self-energy. The noninteracting Green's functions obtained by Kozik et al. in arXiv:1407.5687 likely have pathological properties.

研究の動機と目的

• Kozik らが $ G $ から $ G_0 $ と $ \Sigma $ を再構成する際の非一意性により、Luttinger-Ward汎関数が存在しないと結論づけたことに対抗すること。
• Kozik らの数値解において非解析的 $ G_0^{-1} $ が原因で生じる $ \Sigma $ の見かけ上の曖昧さが、根本的な非一意性ではなく、数値的誤差に起因することを示すこと。
• 物理的に妥当な $ G_0^{-1} $ の解析的仮定のもとで、既知の解析的構造を介して $ G $ によって $ \Sigma $ と $ G_0 $ が一意に決定されることを確立すること。
• Kozik らの研究における骨格図式級数の誤った収束を、すでに Hubbard バンドを含む近似完全相互作用的 $ G_0 $ を使用したことの結果として説明すること。
• このような近似相互作用的 $ G_0 $ から得られる自己エネルギーは必然的に小さくなるため、収束が誤って妥当に見えることの明確化

提案手法

• レーマン表現から $ G(\nu) $ と $ \Sigma(\nu) $ の解析的構造を導出し、$ G(\nu) $ が正の残差を持つ単純極を持ち、$ \Sigma(\nu) = \eta + \sum_i \sigma_i / (\nu - \zeta_i) $ の形をとることを示す。ここで $ \eta $ は実数、$ \sigma_i > 0 $、$ \zeta_i $ は実数である。
• Dyson 方程式 $ G^{-1} = G_0^{-1} - \Sigma $ と $ G_0^{-1} $ の解析性の要請を用いて、$ G $ の極 $ \zeta_i $ と $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} $ が $ \sigma_i $ と $ \eta $ を一意に決定することを示す。
• $ G_0^{-1} $ が解析的であれば、$ \Sigma $ は $ G $ のゼロ点（$ \zeta_i $）で発散しなければならず、$ \Sigma $ の極の数は $ G $ よりも1つ少ないことを示す。
• $ \nu = \zeta_i $ 近傍での $ G_0^{-1} $ の振る舞いを分析し、$ G_0^{-1} \sim -\sigma_i / (\nu - \zeta_i) + c_0 + \cdots $ となることを示す。これにより $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} = -1/\sigma_i $ が得られ、$ \sigma_i $ が $ G $ から一意に固定されることを示す。
• ハートリー・フォックシフト $ \eta $ が $ G $ によって一意に決定されることを主張し、自己エネルギーにおける曖昧さを排除する。
• Kozik らの数値結果と解析的期待値を比較し、彼らの物理的に不適切な解が $ G_0^{-1} $ の解析性を破っており、$ \nu \to 0 $ における $ \Sigma $ の発散が観測されないことで裏付けられていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kozik らが主張するように、$ G $ から $ G_0 $ と $ \Sigma $ を再構成する際の非一意性が原因で、Luttinger-Ward汎関数が存在しないのだろうか？
• RQ2 物理的に妥当な仮定のもとで、正確なグリーン関数 $ G $ から自己エネルギー $ \Sigma $ を一意に決定できるのだろうか？
• RQ3 $ G_0^{-1} $ の解析性が $ \Sigma $ と $ G_0 $ の一意性を保証する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ4 Kozik らの反復的再構成手法が同じ $ G $ に対して複数の $ (G_0, \Sigma) $ 組合せを生成するのは、根本的な問題なのか、数値的誤差に起因するのか？
• RQ5 数値ソルバーで近似完全相互作用的 $ G_0 $ を使用することで、骨格図式級数の誤った収束がどのように説明できるのか？

主な発見

• 解析的 $ G_0^{-1} $ の仮定のもとで、自己エネルギー $ \Sigma $ は正確な $ G $ によって一意に決定され、$ G $ のゼロ点に極を持ち、その残差はその点での $ G $ の勾配から固定される。
• $ \Sigma(\nu) $ の加法的定数 $ \eta $（ハートリー・フォックポテンシャル）は $ G $ によって一意に決定され、自己エネルギーにおける曖昧さが完全に排除される。
• Kozik らの数値解は、$ \nu \to 0 $ における $ \Sigma $ の発散が観測されないことで、非解析的 $ G_0^{-1} $ を示しており、期待される解析的構造と矛盾している。
• Kozik らが得た物理的に不適切な解は、正確な相互作用的グリーン関数に近い $ G_0 $ を使用しており、Hubbard バンドを含んでいる。このため自己エネルギー補正は小さくなり、図式級数の収束が誤って妥当に見える。
• 近似相互作用的 $ G_0 $ からQMCで得られる自己エネルギーと、低次の骨格展開による自己エネルギーの類似性は驚くに値しない。両者とも、すでに正確なグリーン関数に近い状態に対する小さな補正を与えるからである。
• Kozik らの研究における骨格級数の誤った収束は、入力として使用された $ G_0 $ が既に支配的な物理（Hubbard バンド）を含んでいるためであり、自己エネルギーが小さな補正であるため、関数形が間違っていなくても収束が見かけ上妥当に見える。