[論文レビュー] Comment on (t, n) Threshold d-level Quantum Secret Sharing

Shih-Hung Kao, Tzonelih Hwang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ソングらの(d, n)しきい値d次元量子秘密分散プロトコルにおける深刻な欠陥を特定している。このプロトコルでは、参加者が古典的通信を行わなければ秘密を再構築できない。著者らは、ボブ1が自身の1量子ビットに対して量子フーリエ変換を適用しても、他の量子ビットとエンタングルメントしているため、ボスの秘密$a_0$を回復できないことを示しており、プロトコルが情報なし再構築を主張する根拠を無効にしている。

ABSTRACT

This comment points out a problem in Song et al.'s (t, n) threshold quantum secret sharing [Scientific Reports, Vol. 7, No. 1 (2017), pp. 6366], indicating that the agent is unable to obtain the expected information.

研究の動機と目的

• ソングらの(t, n)しきい値d次元量子秘密分散プロトコルにおける根本的欠陥を特定すること。
• 参加者が古典的情報を交換せずに秘密を再構築しようとすると、秘密再構築プロトコルが失敗することを示すこと。
• 量子ビット間のエンタングルメントが、ボブ1が自身の量子ビットに対してQFT⁻¹を適用しても正しい測定結果を取得できないことを示すこと。
• 元のプロトコルにおける誤解を是正すること。すなわち、多粒子エンタングルド状態において1量子ビットにQFT⁻¹を適用できるという主張の誤りを明らかにすること。

提案手法

• 著者らは、ソングらの秘密再構築プロトコルを分析し、ラグランジュ補間符号化後の量子状態の変化に注目する。
• すべての参加者がそれぞれのユニタリ操作$U_{0,s_r}$を適用した後の正しい量子状態を導出し、すべてのt量子ビットにわたるエンタングルメントを示す。
• 解析により、符号化後の状態が$\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1}\omega^{(\sum s_r)\cdot k}|k\rangle_1|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$であることが判明し、すべての量子ビットにわたってエンタングルメントしている。
• 他の量子ビットをトレースアウトしながら、最初の1量子ビットに対して逆量子フーリエ変換$QFT^{-1}$を適用した結果、$|a_0\rangle$に収束しないことを示す。
• d=4、t=3、a_0=3の具体的な例を用い、全状態の変化を計算し、他の量子ビットの状態が異なるため重ね合わせを足し合わせられないことを示す。
• 参加者間の古典的通信がなければ、ボブ1の量子ビットの測定結果が$a_0$にならないため、プロトコルが失敗することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 参加者間の古典的通信なしに、ソングらのプロトコルで秘密を再構築できるか？
• RQ2 多粒子エンタングルド状態における1量子ビットに$QFT^{-1}$を適用しても、正しい秘密状態が得られるか？
• RQ3 他の量子ビットとエンタングルメントしている状態で、なぜ元のプロトコルはボブ1の1量子ビットに$QFT^{-1}$を適用することで$|a_0\rangle$が回復すると主張できるのか？
• RQ4 すべての参加者が操作を適用した後の正しい量子状態は何か？
• RQ5 エンタングルメントが存在する状況で、1量子ビットに$QFT^{-1}$を独立して適用できるという仮定は妥当か？

主な発見

• プロトコルは失敗する。ボブ1は他の量子ビットとエンタングルメントしているため、自身の1量子ビットに対して$QFT^{-1}$を適用しても$a_0$を回復できない。
• 符号化後の正しい状態は$\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1}\omega^{(\sum s_r)\cdot k}|k\rangle_1|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$であり、すべての量子ビットにわたってエンタングルメントしている。
• 他の量子ビットが$|k\rangle_2\cdots|k\rangle_t$の重ね合わせにある状態で、最初の1量子ビットに$QFT^{-1}$を適用しても、$|a_0\rangle$にはならない。なぜなら、項を足し合わせることができないからである。
• d=4、t=3、a_0=3の例では、$QFT^{-1}$適用後の最終状態は、最初の量子ビットが$|3\rangle$ではなく、他の量子ビットの状態$|00\rangle$、$|11\rangle$、$|22\rangle$、$|33\rangle$に応じた異なる状態の重ね合わせとなる。
• ボブ1が他の参加者からの測定結果を受け取らない限り$a_0$を特定できないため、プロトコルの情報なし再構築の主張は無効である。
• この欠陥により、元のプロトコルの核心的主張が無効になる。すなわち、参加者間の古典的通信なしに秘密再構築が可能であるという主張である。