[論文レビュー] Comment on the article "Distilling free-form natural laws from experimental data"

Christopher J. Hillar, Friedrich T. Sommer|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2012

Model Reduction and Neural Networks参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、シュミットとリプソンの記号的回帰手法における適合度関数が、実験データから自然法則を発見する際に、数学的に誤りであり一般系に対して平坦であると批判する。この手法の成功は、事前の知識なしに法則を発見するのではなく、適合度関数にハミルトニアンおよびラグランジュ力学を暗黙的に埋め込んでいるためであり、真に仮定なしの発見という主張を無効にしている。

ABSTRACT

In the article "Distilling free-form natural laws from experimental data", Schmidt and Lipson introduced the idea that free-form natural laws can be learned from experimental measurements in a physical system using symbolic (genetic) regression algorithms. An important claim in this work is that the algorithm finds laws in data without having incorporated any prior knowledge of physics. Upon close inspection, however, we show that their method implicitly incorporates Hamilton's equations of motions and Newton's second law, demystifying how they are able to find Hamiltonians and special classes of Lagrangians from data.

研究の動機と目的

• シュミットとリプソンの論文で提案された、自由形式の自然法則を発見するための適合度関数の数学的妥当性を厳密に分析すること。
• 適合度関数が一般系に対して平坦であり、意味のある保存則を区別できないことの証明。
• この手法の表面的な成功が、ハミルトンの運動方程式およびニュートンの第二法則を含む物理法則を適合度測定に暗黙的に埋め込んでいることに起因することの暴露。
• 時間系列データからハミルトニアンおよびラグランジュアンを、隠れた物理的仮定なしに一意に回復できる理論的根拠に基づいた代替適合度関数の提案。
• アルゴリズム的発見プロセスにおける物理的知識の欠如についての、元の論文における誤解を明確にすること。

提案手法

• 式 [4, Equation S8] の適合度関数が、軌道に沿って δx/δy | pairing = dx/dy という恒等的関係を満たすため、すべての関数 f に対して恒等的にゼロであることを数学的に証明する。
• 適合度関数を再解釈し、保存力に対するハミルトンの運動方程式またはニュートンの第二法則を符号化していることを示し、これが仮定なしではないことを明らかにする。
• 記号的偏微分と状態変数の数値時間微分を用いた、オイラー＝ラグランジュ方程式に基づく新しい適合度関数を提案する。
• 各時刻で ∂H/∂q̇_i = dq_i/dt および ∂H/∂q_i = -dṗ_i/dt を満たすかどうかのずれを評価するハミルトニアン適合度関数 HFit(f) を開発する。
• 時間系列データ上でのオイラー＝ラグランジュ式の消滅に基づくラグランジュ適合度関数 LFit(f) を定式化する。
• 調和振動子の例を用いて新しい適合度関数を検証し、元の関数が常に平坦であるのに対し、正しいハミルトニアンパラメータでピークの適合度を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 式 [4, Equation S8] で提案された適合度関数は数学的に妥当であり、任意の関数と有効な保存則を区別できるか？
• RQ2 記号的回帰がハミルトニアンおよびラグランジュアンを発見する成功は、適合度関数に物理法則を暗黙的に組み込んでいることにどれほど依存しているか？
• RQ3 時間系列データからハミルトニアンおよびラグランジュアンを、事前の物理的仮定なしに一意に回復できる理論的根拠に基づいた適合度関数を構築できるか？
• RQ4 なぜ元の手法は、調和振動子のハミルトニアンでは成功するが、二重pendulumのような一般のラグランジュアンを発見できないのか？
• RQ5 記号的回帰に適した、古典的力学方程式（例：オイラー＝ラグランジュ方程式やハミルトンの運動方程式）の構造を直接符号化できる適合度関数はどのように設計できるか？

主な発見

• 式 [4, Equation S8] の適合度関数は、すべての関数 f に対して数学的に平坦であることが証明されており、すべての候補法則に同一の適合度を割り当て、区別不能である。
• 元の手法の観察された成功は、仮定なしの発見によるものではなく、適合度関数がハミルトンの運動方程式または保存力に対するニュートンの第二法則を暗黙的に符号化しているためである。
• 適合度関数をハミルトンの運動方程式を組み込む形に再解釈すると、調和振動子の例で正しい一意のハミルトニアンを正しく特定できる。
• オイラー＝ラグランジュ方程式に基づく修正適合度関数は、特殊な場合にラグランジュアンを回復できるが、二重pendulumのような一般のラグランジュアンでは失敗する。
• ハミルトニアンおよびオイラー＝ラグランジュ方程式の正確な形に基づく、提案された HFit(f) および LFit(f) 臨界度関数は、元の手法とは異なり、正しい物理的パラメータでピークの適合度を示す。
• 調和振動子における数値的検証では、元の適合度関数 (2) がパラメータ空間全体で平坦であるのに対し、新しい HFit(f) 関数は ω² = 1 のとき (α, β, γ) = (0.5, 0, 0.5ω²) で真のハミルトニアンを正しく特定する。