[論文レビュー] Comment on the Hojman conservation quantities in Cosmology

Andronikos Paliathanasis, P. G. L. Leach|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2015

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スカラー場モデルにおける宇宙論的応用に関して、ホフマンの法則を用いた保存則の導出を批判している。アーベスト ϕ(t) = ϕ(a(t)) を適用することで、得られるホフマンの保存量が自由粒子のノネル運動量保存則に還元されることを示し、この方法が新たな物理的制約をもたらさず、ハミルトニアン系における一般化された変換のもとでネーターの定理と等価であることが明らかになった。

ABSTRACT

We comment upon the application of Hojman's method for the determination of conservation laws in Cosmology, which has been introduced by Capozziello \& Roshan (Phys. Lett. B 726 (2013) 471 (arXiv:1308.3910)), and has been applied recently in the cosmological scenario of a nonminimally coupled scalar field by Paolella \& Capozziello (Phys. Lett. A (2015), in press (arXiv:1503.00098)). We apply the Ansatz, $ϕ\left( t ight) =ϕ\left( a\left( t ight) ight) $, which was introduced by the cited authors for a minimally-coupled scalar field, and we study the Lie and Noether point symmetries for the reduced equation. We show that under this Ansatz the unknown function of the model cannot be constrained by the requirement of the existence of a conservation law and that the Hojman conservation quantity which arises for the reduced equation is nothing more than the functional form of the Noether conservation law of momentum for the free particle. Finally we show that Hojman's method for Hamiltonian systems, in which the Hamiltonian function is one of the involved equations of the system, is equivalent with the application of Noether's Theorem for generalized transformations.

研究の動機と目的

• スカラー場を含む宇宙論的モデルにおける保存則を導出するホフマンの法則の妥当性と物理的意味を検討すること。
• 先行研究で用いられたアーベスト ϕ(t) = ϕ(a(t)) が、保存則を通じてモデルの関数形を真に制約するのかを評価すること。
• ハミルトニアン系におけるホフマンの法則とネーターの定理との関係を調査すること。
• ホフマンの法則によって得られる保存量が、新しい物理的洞察を示しているのか、それとも既知のネーター対称性と数学的に同等であるのかを特定すること。

提案手法

• 著者らは、宇宙論における非最小結合スカラー場の運動方程式を簡略化するために、アーベスト ϕ(t) = ϕ(a(t)) を適用した。
• 簡略化された2階微分方程式のリーおよびネーター点対称性を分析した。
• 簡略化された方程式から得られるホフマンの保存量と、自由粒子に対するネーター保存則を比較した。
• 系のハミルトニアン形式を検討し、ハミルトニアンが系の方程式の一部であることを特定した。
• 一般化された変換のもとで、ホフマンの法則とネーターの定理との間の同等性を確立した。
• 対称性の簡略化と関数形の比較に依拠して、導出された保存則の物理的内容を特定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベスト ϕ(t) = ϕ(a(t)) は、ホフマンの保存則を通じてスカラー場モデルに物理的に意味のある制約をもたらすのか？
• RQ2 簡略化された方程式から得られるホフマンの保存量は、真に新しいものなのか、それとも既知の保存則と同等なのか？
• RQ3 ハミルトニアン系におけるホフマンの法則は、一般化された変換を用いたネーターの定理の特殊ケースとして解釈可能か？
• RQ4 簡略化された宇宙論的モデルにおけるホフマンの保存量の関数形は何か？
• RQ5 このアーベス卜のもとで保存則が存在することは、スカラー場のポテンシャル関数や結合関数を一意に決定するのか？

主な発見

• 簡略化された方程式から得られるホフマンの保存量は、数学的に自由粒子系におけるネーターの運動量保存則と同等である。
• アーベス卜 ϕ(t) = ϕ(a(t)) は、保存則の存在を通じてモデルの未知関数を制約しない。
• ハミルトニアンが系の方程式に含まれるハミルトニアン系におけるホフマンの法則は、一般化された変換を用いたネーターの定理と同等であることが示された。
• ホフマンの法則によって得られる保存則は、簡略化された系における標準的なネーター対称性を超えて、新たな物理的洞察を提供しない。
• 保存量の関数形は、スカラー場の特定の力学に依存するのではなく、自由粒子の背後にある対称性を反映している。
• 本研究は、この文脈におけるホフマンの法則が、ネーターの定理によってすでに示唆されている保存則を超えて、独立的または新しい保存則をもたらさないという結論に至った。