[論文レビュー] Comment on "Topological equivalence of crystal and quasicrystal band structures"

Yaacov E. Kraus, Zohar Ringel+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 3

ひとこと要約

本コメントは、1次元における準結晶と結晶が位相的に同値であるという主張を反駁する。準周期性が対称性と類似した位相的制約として機能し、時間反転対称性がなくても準周期的系において非自明なチーン数を可能にする。主な結果は、準周期性が保持される限り、準周期的系における位相的不変量が断続的変形に対して安定であるが、その変形が周期的系に至る場合、位相的同値性は成立しないことである。これはMadsenら（2013）の主張を無効にする。

ABSTRACT

Madsen et al. [arXiv:1307.2577] claim that one-dimensional insulating crystals and one-dimensional insulating quasicrystals are topologically equivalent and, thus, trivial. In this comment, we clarify that in topological classification of one-dimensional systems, quasiperiodicity plays a role similar to that of a symmetry. Hence, periodic systems are out of the quasiperiodic topological space, and the equivalence between quasicrystals and crystals becomes immaterial.

研究の動機と目的

• 著者らの過去の準周期的位相的系に関する研究と、Madsenらによる準結晶と結晶の位相的同値性に関する主張との間にあるとされる矛盾を解消すること。
• 準周期性が対称性と同様に、チーン数がバルクギャップに割り当てられる別個の位相的空間を定義することを明確にすること。
• Madsenらの数値的結果において境界状態が観測されないことが、自明性を示すものではないことを示すこと。これは、鋭い境界が準周期性を破壊するためである。
• 準周期的系から周期的系への断続的変形が、位相的自明性を示すものではないこと。周期的系は準周期的位相的分類空間に属さないためである。
• 唯一、準周期的ハミルトニアンが、ギャップ埋め込み境界状態や界面モードを含む位相的保護現象を支持することを確立すること。

提案手法

• 著者らは、無理数の周波数bと位相φで定義される、準周期的（QP） hopping項またはオンサイト項を有する1次元準周期的タイトバインディングモデルを分析する。
• QP関数がφシフトに対して不変であることから、φに依存しないバルク性質（エネルギーギャップなど）が得られ、ギャップに整数チーン数を割り当てられることを示す。
• これは、有理数bの周期的系とは対照的であり、その場合チーン数はφに依存し、チーン数を定義するにはφの積分が必要となるため、単一のφにおけるチーン数は物理的に意味を持たない。
• トーフルスポンプ形式を用いて、準周期性を保つ断続的変形において、QP系の位相的安定性を正当化する。
• アウブリ＝アンドレモデルを数値的に解析し、境界状態がφに依存するのは、位相的自明性ではなく、局所的な準周期性の破壊に起因することを示す。
• bを1.60から1.63に連続的に変化させてもギャップが大きく保たれる現象は、周期的系が同じ位相的空間に属しないことから、位相的同値性を示すものではないと主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元における準結晶と結晶の位相的同値性は、位相的絶縁体の標準的分類において有効か？
• RQ2 固定されたφを持つ個々の準周期的ハミルトニアンに、チーン数を意味的に割り当てることができるか？周期的系とはどのように異なるか？
• RQ3 準周期的系における境界状態がφに依存するのはなぜか？数値的シミュレーションで観測されないのは、自明性を示唆するのか？
• RQ4 準周期的系から周期的系への断続的変形が、位相的自明性を示すものか？この文脈において準周期性はどのような役割を果たすか？
• RQ5 有理数bの系に対して、連続性によってチーン数のような位相的不変量を定義できるか？その定義の物理的結果は何か？

主な発見

• 準周期性は、対称性と類似した位相的制約として機能し、追加の対称性がなくても、準周期的系のバルクギャップに整数チーン数を割り当てることを可能にする。
• 準周期的系におけるギャップのチーン数は、QP関数がφシフトに対して不変であることから、位相φに依存しない。これにより、明確に定義された位相的不変量が得られる。
• これに対して、周期的系（有理数b）では、チーン数を定義するにはφの積分が必要であり、単一のφにおけるチーン数は物理的に意味を持たない。
• Madsenらのシミュレーションで鋭い境界における準位のギャップ内境界状態が観測されないのは、位相的自明性によるものではなく、局所的な準周期性の破壊によるものであり、位相的相の存在を否定するものではない。
• 準周期的系から周期的系への断続的変形は、位相的同値性を示さない。周期的系は準周期的位相的分類空間の外にあるためである。
• bを1.60から1.63に連続的に変化させても大きなギャップが維持されるのは、この区間内のすべての準周期的系が最大ギャップにおいて同じチーン数を持つことを示唆するが、小さなギャップおよびそのチーン数はbの変化に大きく依存する。