[論文レビュー] Commentary on `The Three-Dimensional Current and Surface Wave Equations' by George Mellor

Fabrice Ardhuin, Alastair D. Jenkins+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 64被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、波誘発圧力のフラックスの不適切な近似が原因で、Mellor（2003）の三次元の流れと波の運動量方程式に根本的な不整合が生じていることを特定する。数値補正法を提案するが、一般化ラグランジュ平均（GLM）や準オイラー速度に基づく座標系のような代替座標系は、波動と平均流れの運動量を明確に分離することで、波動の数値的力の評価を必要とせず、一貫性があり解析的に取り扱いやすい方程式を実現する。

ABSTRACT

The lowest order sigma-transformed momentum equation given by Mellor (J. Phys. Oceangr. 2003) takes into account a phase-averaged wave forcing based on Airy wave theory. This equation is shown to be generally inconsistent due to inadequate approximations of the wave motion. Indeed the evaluation of the vertical flux of momentum requires an estimation of the pressure $p$ and coordinate transformation function $s$ to first order in parameters that define the large scale evolution of the wave field, such as the bottom slope. Unfortunately there is no analytical expression for $p$ and $s$ at that order. A numerical correction method is thus proposed and verified. Alternative coordinate transforms that allow a separation of wave and mean flow momenta do not suffer from this inconsistency nor require a numerical estimation of the wave forcing. Indeed, the problematic vertical flux is part of the wave momentum flux, thus distinct from the mean flow momentum flux, and not directly relevant to the mean flow evolution.

研究の動機と目的

• Mellor（2003）のシグマ座標系における運動量方程式が浅瀬波に適用された場合に生じる不整合を特定・診断すること。
• Mellorの式において、波誘発圧力と座標変換のO(ε₂)近似が必要となる波誘発運動量フラックス項が、解析的解を持たないことを示すこと。
• 不整合が生じる理由が、元の式において波動運動量フラックスと平均流れ運動量フラックスが混同されていることに起因することを示すこと。
• Mellorの式における波動力項に数値補正法を提案すること。
• 特にGLMに基づく式や準オイラー速度式のような代替的定式化を提唱し、波動と平均流れの運動量を本質的に分離することで、波動力の数値的評価を回避する。

提案手法

• 波の傾きが小さい（ε₁ ≪ 1）および海底勾配が緩やかである（ε₂ ≪ 1）条件下で、Mellor（2003）の式における最低次のシグマ変換運動量方程式を解析的に検討する。
• 垂直方向の運動量フラックス（p∂s/∂x）が波圧力pと座標関数sに依存しており、両者ともO(ε₂)において解析的表現を持たないことを特定する。
• O(ε₂)における波動力項の推定のための数値補正法を提案し、Mellorの式における一貫性を回復する。
• AndrewsとMcIntyre（1978）の一般化ラグランジュ平均（GLM）方程式とMellorの式を比較し、GLMが波動と平均流れの運動量フラックスを別々に取り扱うことで不整合を回避することを示す。
• 波動運動量を平均流れの進化から分離するための準オイラー速度 ū = U − u_S の概念を導入し、明示的な波動力項なしに一貫性のある方程式を可能にする。
• ラプラス方程式の数値解を用いて理論的議論を検証し、Magneら（2006）が用いた五モード近似ですら、波動力の正確な評価に不十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー散逸がない浅瀬波に適用されたMellor（2003）のシグマ座標系運動量方程式がなぜ不整合を示すのか？
• RQ2 Mellorの式における波誘発運動量フラックス項がなぜO(ε₂)で数値的評価を必要とするのか、そしてそれが実用的海洋モデルにおいてなぜ問題となるのか？
• RQ3 Mellorの式における不整合は数値補正によって解消可能か？そのアプローチの有効性はいかがなものか？
• RQ4 GLMに基づく式や準オイラー速度式は、なぜMellorの式に見られる波動力の不整合を回避できるのか？
• RQ5 表面追随座標系（Mellorの式）が物質的表面を正しく表現できない条件は何か？その結果、運動量フラックスの評価にどのような影響が生じるのか？

主な発見

• Mellor（2003）の最低次のシグマ変換運動量方程式は、波誘発圧力pと座標関数sがO(ε₂)において解析的表現を持たないため、不整合を示す。
• 波動運動量フラックス項 S_x3 = p̃^ξ ∂s̃/∂x は、オイラー的移流フラックス uw の代わりに用いられ、波動運動量を含んでおり、平均流れの進化とは直接関係がないため、概念的・計算的混乱を引き起こす。
• O(ε₂)における波動力項の推定のための数値補正法を提案するが、計算コストが非常に高く、通常の海洋モデルでは実用的ではない。
• 一般化ラグランジュ平均（GLM）や準オイラー速度 ū = U − u_S に基づく代替的定式化は、波動と平均流れの運動量を明確に分離することで、明示的な波動力評価の必要性を排除し、不整合を回避する。
• GLMに基づく準オイラー速度の式は、海底勾配や流れ勾配が存在する場合でも、最低次の段階で一貫性があり、解析的に取り扱える。これは、波動運動量フラックスが平均流れの運動量方程式に現れないからである。
• 数値実験の結果、Magneら（2006）が用いた五モード近似ですら、波動力の正確な評価に不十分であることが示され、高分解能または代替的定式化の必要性が強調された。