[論文レビュー] Comments on the height reducing property

Shigeki Akiyama, Toufik Zaı̈mi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

semigroups and automata theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は代数的数の高さ低減性を調査し、すべての共役が単位円上にあるか、すべての絶対値が1より大きい複素数が、特定の乗法的依存条件を満たす場合にこの性質を満たすことを証明している。この性質は、乗法的に独立な共役の数が deg(α)/2 − 1 以上、または正確に1である場合に成り立ち、LLL削減を用いたアルゴリズム的手法によりこれらの依存関係を計算可能であり、次数16まで広範な計算的検証が行われた。

ABSTRACT

A complex number alpha is said to satisfy the height reducing property if there is a finite subset F of the ring Z of the rational integers such that Z[alpha]=F[alpha]. This problem of finding F has been considered by several authors, especially in contexts related to self affine tilings, and expansions of real numbers in non-integer bases. We continue, in this note, the description of the numbers satisfying the height reducing property, and we specify a related characterization of the roots of integer polynomials with dominant term.

研究の動機と目的

• 複素数 α に対して ℤ[α] = F[α] を満たす有限集合 F ⊂ ℤ が存在するような代数的数 α ∈ ℂ を特徴づけること。この性質は高さ低減性として知られる。
• 単位円上にすべての共役をもつ代数的数が高さ低減性を満たす十分条件を特定すること。
• LLLアルゴリズムを用いたアルゴリズムを開発・適用し、乗法的に独立な共役の数 m(α) を計算可能とし、高さ低減性の検証を可能にする。
• 係数の高さ h ≤ 50 で次数が16以下の代数的数について、高さ低減性が成り立つかどうかを調査し、特に m(α) < deg(α)/2 の場合を重点的に検討すること。

提案手法

• 高さ低減性を ℤ[α] = F[α]（F ⊂ ℤ は有限集合）として定義し、代数的整数や単位根への影響を分析する。
• Kroneckerの定理と逆多項式の性質を用いて、単位円上にある共役の性質を分析する。
• 共役の乗法的独立性の概念を導入し、m(α) を乗法的に独立な共役の最大数として定義する。
• de Weger [4] の補題3.7 を LLLアルゴリズムと組み合わせ、m(α) を効率的に評価・計算する。これにより、Waldschmidt [12] の指数的境界を克服する。
• 次数 d、先頭係数 c、係数高さ h が有界なモニック整数多項式の体系的列挙を行い、反例の探索を実施する。
• スイーブ法を用いてすべての根が単位円上にある多項式をフィルタリングし、さらに既約性、原始的性、非べき還元形への分類を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての共役が単位円上にある代数的数 α が高さ低減性を満たす条件は何か？
• RQ2 単位円上にすべての共役をもつ次数 ≤ 6 の代数的数に対して、高さ低減性は常に成り立つか？
• RQ3 m(α) = deg(α)/2 − 1、deg(α)/2 − 2、または deg(α)/2 − 3 である代数的数に対して、高さ低減性は証明可能か？
• RQ4 単位円上に共役をもつが高さ低減性を満たさない代数的数は存在するか？ もし存在するならば、その最小次数は何か？
• RQ5 LLLアルゴリズムは、高次の場合においても m(α) を計算し、高さ低減性を検証するために効果的に使用可能か？

主な発見

• すべての共役の絶対値が1または1より大きい代数的数 α に対して、高さ低減性は m(α) ≥ deg(α)/2 − 1 または m(α) = 1 の条件下で成り立つ。
• 単位円上にすべての共役をもつ次数 ≤ 6 の代数的数に対して、高さ低減性は成り立つ。これは m(α) ≤ deg(α)/2 − 1 が不可能であるためである。
• 次数6、先頭係数2、係数高さ50の多項式1,030,301個のうち、287個がすべての根を単位円上にもち、すべてが高さ低減性を満たしている。
• 次数12では、m(α) = deg(α)/2 − 2 である4つの多項式と、m(α) = deg(α)/2 − 3 である2つの多項式が発見され、前者については不等式系の解法により高さ低減性が証明された。
• 次数16では、m(α) = deg(α)/2 − 3 である1つの多項式が発見されたが、この場合の高さ低減性は未解決のままである。
• 次数16までの一連の探索において、単位円上に共役をもつ多項式に対して高さ低減性の反例は一切発見されず、このクラスにおいて性質が普遍的に成り立つ可能性が示唆された。