[論文レビュー] Comments on toric varieties

Howard M Thompson|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、双対格子 M 内の有限生成で、必ずしも飽和でないモノイドの集合を用いて、通常の状況を超えたトーリック多様体を一般化する。このような集合がモノイド代数を介して非正規トーリック多様体を定義することを示し、特異点の解消が繰り返しの記号的冪のブLOW-UPによって達成できることを証明する。その結果、新たなトーラス不変Weil除集合を導入せずに、単体的多様体に至る。主な貢献は、局所化と飽和を用いた構成的でモノイド論的なトーリック解消のアプローチである。

ABSTRACT

Here are few notes on not necessarily normal toric varieties and resolution by toric blow-up. These notes are independent of, but in the same spirit as the earlier preprint arXiv:math.AG/0306221. That is, they focus on the fact that toric varieties are locally given by monoid algebras.

研究の動機と目的

• 双対格子 M の有限生成部分モノイドの集合に、標準的なファン記述を置き換えることで、非正規状況におけるトーリック多様体理論を拡張すること。
• このようなモノイド集合が、古典的なファン-多様体対応を一般化する well-defined な代数的多様体を定義する条件を特定すること。
• 非正規トーリック多様体における特異点の解消を、トーリックブLOW-UPを用いて構成的に提供すること。
• クラス群において無限大の位数を持つWeil除集合の記号的冪の繰り返しのブLOW-UPが、新たなトーラス不変Weil除集合を導入せずに単体的トーリック多様体に至ることを示すこと。
• すべてのトーリック多様体が、モノイド論的道具を用いてスターバイセクションを用いた射影的トーリック特異点解消を有することを確立すること。

提案手法

• 一般化ファンを、格子 M 内の有限生成部分モノイド S ⊆ M の有限集合 Δ として定義し、局所化に関して閉じており、任意の二つの要素の和がその局所化であるような条件を満たすものとする。
• 各 S ∈ Δ に対してモノイド代数 k[S] のスペクトルの貼り合わせとして、関連する（必ずしも正規でない）トーリック多様体 XΔ を構成する。
• 非正規多様体とその正規化との関係を、飽和 S^sat = ℝ≥0S ∩ ℤS を用いて記述する。正規化は、ファンから得られる標準的トーリック多様体である。
• 除集合類群 Cl(S) = M / ℤS を用いて特異点を特徴づけ、有限位数の要素がCartier除集合に対応することを示す。
• k[S] 内の高さ1の素イデアルに対応するイデアルに沿ったブLOW-UPを適用し、特に非包含されるレイトス上の最初の格子点のlcmである m に対する m 乗記号的冪を用いる。
• 各ブLOW-UPが正規化のファンにおけるスターバイセクションに対応することを示し、繰り返し適用することで、新たなWeil除集合を追加せずに多様体が単体的になることを見る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双錐と飽和モノイドの双対性に依存せずに、非正規状況におけるトーリック多様体理論をどのように拡張できるか？
• RQ2 M の有限生成部分モノイドの集合が、well-behaved な代数的多様体を定義するための条件は何か？
• RQ3 非正規トーリック多様体における特異点の解消が、トーリックブLOW-UPを用いても、トーラス不変除集合構造を保持できるか？
• RQ4 非単体的トーリック多様体の解消プロセスを構成する際、素イデアルの記号的冪が果たす役割は何か？
• RQ5 すべてのトーリック多様体が、トーリックブLOW-アップの列によって射影的特異点解消を有するか？

主な発見

• 局所化および和の局所化条件に関して閉じた、M の有限生成部分モノイドの有限集合 Δ は、モノイド代数 k[S] のスペクトルの貼り合わせによって（必ずしも正規でない）トーリック多様体 XΔ を定義する。
• XΔ の正規化は、各 S ∈ Δ に対して双対錐 (ℝ≥0S)∨ を用いて得られるファンに由来する標準的トーリック多様体である。
• 正規化写像はブLOW-アップであり、k[S] が各 S ∈ Δ に対して整域であることから、XΔ は分離的かつ整である。
• 除集合類群 Cl(S) = M / ℤS が有限位数を持つようなWeil除集合 D に対しては、D はCartier除集合である。そうでなければ、D は無限位数を持ち、非Cartier除集合に対応する。
• Cl(S) 内で無限位数を持つWeil除集合 D の m 乗記号的冪のブLOW-アップは、スターバイセクションに対応し、多様体の複雑さを減少させるが、新たなトーラス不変Weil除集合を導入しない。
• このようなブLOW-アップを繰り返し適用すると、単体的トーリック多様体が得られ、クラス群のランクが減少するため、プロセスは終了し、特異点の射影的解消が得られる。