[論文レビュー] Comments on Verlinde's entropic gravity

Jong‐Phil Lee|arXiv (Cornell University)|May 8, 2010

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Verlindeのエンタロピー的重力仮説を再検討し、空間的移動Δxに比例するエントロピー変化を仮定しないで、標準的な古典的熱力学とホログラフィー原理からニュートンの万有引力の法則を導出できることを示している。主な結果は、エントロピーが面積に比例（Bekenstein-Hawkingの公式による）であり、エネルギーが古典的重力ポテンシャルエネルギーと同一視されるとき、逆2乗則が自然に導かれるというものであり、エントロピー式における1/4の係数がニュートン的重力の成立に不可欠である。

ABSTRACT

Some comments are given on recently proposed entropic gravity by Verlinde. We focus on the derivation of Newton's law of gravitation. It is shown that consistent classical relations are enough to result in the Newtonian gravity. In our derivation, it is crucial that the entropy is a quarter of the number of states in units of the Boltzmann constant $k_ B$, and the number of states is given by the holographic principle.

研究の動機と目的

• Verlindeのエンタロピー的重力仮説が古典的熱力学および既知の物理法則と整合するかを評価すること。
• 空間的移動Δxに比例するエントロピー変化を仮定せずに、ニュートンの万有引力の法則が導けるかを調査すること。
• ホログラフィー原理とエントロピー式における1/4の係数（S = (1/4)NkB）が逆2乗則の導出に果たす役割を明確にすること。
• 特に、エネルギーの割り当て（Mc² と古典的ポテンシャルエネルギーの違い）および質量の接近に伴うエントロピー増加に関する、Verlindeの導出における矛盾を特定すること。

提案手法

• エントロピーSが面積Aに比例するS = (1/4)NkBおよびN = Ac³/(Għ)を用いて、標準的熱力学的関係F = TΔS/Δrに基づくエンタロピー的力の導出を行う。
• エネルギーと温度・自由度の関係を表す等分配定理E = (1/2)NkBTを用い、ホログラフィックスクリーン上のエネルギーを温度と自由度に関連付ける。
• VerlindeのE = Mc²の仮定を、M–m系の古典的重力ポテンシャルエネルギーU(r) = –C/rに置き換える。
• 力のバランスから微分方程式dU/U + dr/r = 0を導出し、これにより逆2乗則U(r) ∝ 1/rが得られることを示す。
• S = γkB Nにおけるγを一般化し、γ = 1/4およびホログラフィックスケーリング（N ∝ r²）のときのみニュートン的重力が再現されることを示す。
• 質量の接近に伴うエントロピー変化の熱力学的整合性を分析し、rが減少するにつれてNが減少する場合、第二法則に反するため、他のエントロピー増加源の特定が必要であることを指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的移動Δxに比例するエントロピー変化を仮定せずに、ホログラフィー原理と標準的熱力学的関係からニュートンの万有引力の法則を導けるか？
• RQ2 非相対論的極限におけるホログラフィックスクリーン上のエネルギーEの正しい物理的解釈は何か—Mc²であるべきか、それとも古典的ポテンシャルエネルギーであるべきか？
• RQ3 VerlindeのΔS ∝ Δxの仮定が、エントロピーを面積に結びつけるホログラフィー原理となぜ矛盾するのか？
• RQ4 rが減少するにつれてスクリーン上のビット数Nが減少する中で、質量の接近に伴いエントロピーがどのように増加できるのか？
• RQ5 逆2乗則の重力法則を再現するために、γおよびN(r)にどのような条件が必要か？

主な発見

• エントロピーが面積に比例（S ∝ A）であり、エネルギーが古典的重力ポテンシャルエネルギーと同一視されるとき、ニュートンの万有引力の法則が再現される。
• エントロピー式S = (1/4)NkBにおける1/4の係数は、逆2乗則を導出するために不可欠であり、この係数からの逸脱は非ニュートン的ポテンシャルを生じる。
• 導出によりU(r) ∝ 1/rが得られ、逆2乗則が確認される。比例定数は系の自由度および温度によって決定される。
• Verlindeの元々の導出におけるΔS ∝ Δxの仮定はホログラフィー原理と整合せず、質量が接近する際に位置の不確実性が増大するなど、物理的に不自然な結果を生じる。
• N ∝ r²（ホログラフィックスケーリング）のとき、γ = 1/4でのみニュートン的重力が得られ、他のγではポテンシャル則が変化する。これはエントロピー構造と重力法則の間に深い関係があることを示唆する。
• このモデルは熱力学的整合性に問題を抱える：rが減少するにつれてNが減少する場合、エントロピーが減少するが、第二法則に反するため、他のエントロピー増加源の特定が必要である。