[論文レビュー] Common Coupled Fixed Point Theorems for Maps in a $T_0$-ultra-quasi-metric Space

Collins Amburo Agyingi, Gaba, Yaé Ulrich|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$T_0$-超擬距離空間における写像の対について、$q$-球面的完備性条件下で共通の対応する不動点の存在を確立する。開球内の最大鎖を構成するためにツォルンの補題を適用することで、上界連続性を仮定せず不動点の存在を証明し、非対称距離空間における既存の結果を、新しい位相的アプローチで一般化する。

ABSTRACT

In this article, we prove the existence of common fixed points for a pair of maps on a $q$-spherically complete $T_0$-ultra-quasi-metric space. The present article is a generalization, in the assymmetric setting of the paper of Rao et al.\cite{Rao}. The key point in the proof is the use of Zorn's lemma. We construct an appropriate chain and show that it has a maximal element, from which we extract the fixed point we are looking for. The choice of the sets, here open balls, is characteristic of this type of problems and the contraction condition are essential, specially when we are to establish the uniqueness of the fixed point

研究の動機と目的

• Raoたちは$T_0$-超擬距離空間の文脈で、非対称距離空間における不動点理論を拡張すること。
• 上界連続性を仮定しない二つの写像の共通対応不動点の存在を確立すること。
• $q$-球面的完備性が$T_0$-超擬距離空間における不動点の存在に十分であることを示すこと。
• 開球とZornの補題を用いた最大鎖の構成による、位相的証明枠組みを提供すること。

提案手法

• 写像の定義域における点を中心とする開球の空間内で、Zornの補題を用いて最大鎖を構成する。
• $q$-球面的完備性の性質を用いて、任意の減少する球の族の共通部分集合が空でないことを保証する。
• 写像に収縮条件を定義し、鎖の共通部分集合が共通不動点を含むことを保証する。
• 写像の収縮条件を満たす場合に、不動点の一意性を保証するために$T_0$-条件を用いる。
• 超擬距離によって誘導される位相を用い、開球$\{y \in X : d(x,y) < \epsilon\}$が位相$\tau(d)$の基底をなす。
• 共役$d^{-1}$と対称的超距離$d^s = \sup\{d, d^{-1}\}$を用いて、基礎となる位相的構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上界連続性を仮定せず、$T_0$-超擬距離空間における共通対応不動点を確立することは可能か？
• RQ2 弱い連続性仮定の下で、非対称距離空間における不動点の存在を保証する位相的性質は何か？
• RQ3 $q$-球面的完備性と収縮条件がどのように作用して不動点の存在を導くか？
• RQ4 Zornの補題は非対称設定における最大鎖の構成をどのように不動点の導出に役立てるか？
• RQ5 開球と$T_0$-条件は、共通不動点の一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $q$-球面的完備な$T_0$-超擬距離空間における写像の対について、共通対応不動点の存在が証明された。
• 上界連続性の仮定が不必要であり、この結果は以前の研究でこの条件を仮定していた事項を一般化する。
• Zornの補題を用いて、共通不動点を含む共通部分集合を持つ開球の最大鎖を構成した。
• 収縮条件は、空間内での不動点の一意性を保証するために不可欠である。
• $T_0$-超擬距離空間構造により非対称な距離が許容され、$T_0$-条件により異なる点が位相的に区別可能である。
• 対称的超距離$d^s = \sup\{d, d^{-1}\}$は正しく定義されており、位相$\tau(d)$を誘導し、対称的距離理論への橋渡しを果たす。