[論文レビュー] Common Denominator for Value and Expectation No-Go Theorems

Andreas Blass, Yuri Gurevich|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、すべての測定をランク1射影に制限することにより、隠れ変数（HV）理論における値の定理と期待値の定理の両者に共通する枠組みを確立し、それらの直接比較を可能にする。両者のアプローチのいずれもが他方を包含しないことが示されている：期待値の定理では状態写像の凸線形性が要求されるが、値の定理ではそのような要件がない。ベルの2次元HVモデルが期待値の定理を回避できるのは、混合状態への凸線形拡張が不可能だからである。

ABSTRACT

Hidden-variable (HV) theories allege that a quantum state describes an ensemble of systems distinguished by the values of hidden variables. No-go theorems assert that HV theories cannot match the predictions of quantum theory. The present work started with repairing flaws in the literature on no-go theorems asserting that HV theories cannot predict the expectation values of measurements. That literature gives one an impression that expectation no-go theorems subsume the time-honored no-go theorems asserting that HV theories cannot predict the possible values of measurements. But the two approaches speak about different kinds of measurement. This hinders comparing them to each other. Only projection measurements are common to both. Here, we sharpen the results of both approaches so that only projection measurements are used. This allows us to clarify the similarities and differences between the two approaches. Neither one dominates the other.

研究の動機と目的

• 期待値のノーガス定理が値のノーガス定理を包含すると考えられていた文献の不整合を解消すること。
• 測定タイプの明確な区別：値理論的測定（スペクトル的結果）と期待値理論的測定（POVMからの2値結果）の区別を明確にすること。
• 両者のアプローチに共通する測定は射影測定に限られることを示し、公平な比較を可能にすること。
• 期待値のアプローチが値のアプローチを包含しないことを、ベルの2次元HVモデルを反例として示すこと。
• 期待値のノーガス定理の仮定を弱めるために、効果をランク1射影に制限し、効果写像への凸線形性の要件を排除すること。

提案手法

• 期待値表現を三つ組 frac{(\Lambda, \mu, F)} として定義する。ここで $\mu$ は密度作用素から隠れ変数空間 $\Lambda$ 上の確率測度へ写像し、$F$ はランク1射影から $[0,1]$-値の可測関数へ写像する。
• 量子力学的期待値 $\mathrm{Tr}(\rho E)$ が隠れ変数の平均 $\int_\Lambda F(E)\,d\mu(\rho)$ に等しくなるように要求し、量子予測と整合性を保つ。
• 最初のブートストラップ定理を確立：より大きなヒルベルト空間 $\mathcal{H}'$ 上での任意の期待値表現は、閉部分空間 $\mathcal{H}$ 上のそれへ誘導可能である。
• 回転対称性と球帽に関するアーキメデスの定理を用いて、ベルの2次元HVモデルが $\sigma_z$ の正しい量子期待値を予測することを検証する。
• ベルのモデルが混合状態への凸線形 $\mu$ への拡張が不可能であることを証明し、期待値のノーガス定理を回避できることを示す。
• 無限次元では値のノーガス定理がより強い仮定を必要とすることを示すが、有限次元ではランク1射影が十分である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定タイプが異なるため、値と期待値のノーガス定理は意味的に比較可能だろうか？
• RQ2 期待値のノーガス定理は値のノーガス定理を包含するのか、それとも独立しているのか？
• RQ3 ベルの2次元隠れ変数モデルは、混合状態へ凸線形性を保ったまま拡張可能だろうか？
• RQ4 期待値のノーガス定理において、密度作用素上の写像 $\mu$ の凸線形性は必要だろうか、それとも弱められるか？
• RQ5 ランク1射影は、値と期待値の両方の枠組みでノーガス定理を導くのに十分だろうか？

主な発見

• 値の定理と期待値の定理の両方に共通する唯一の測定はランク1射影であり、これらは両方の文脈で、スペクトル的値としての観測可能量と、2値的結果としての効果として機能する。
• 期待値のノーガス定理は、効果をランク1射影に制限すれば証明可能であり、$\mu$ の凸線形性が十分である。$F$ の凸線形性は必要ではない。
• 有限次元ヒルベルト空間ではランク1射影が値のノーガス定理を導くのに十分だが、無限次元ではそのような性質は成立しない。
• ベルの2次元隠れ変数モデルは、量子期待値を正しく予測できるが、混合状態への凸線形 $\mu$ への拡張が不可能であるため、期待値のノーガス定理を回避できる。
• 期待値のアプローチが値のアプローチを包含しないことは、ベルのモデルが量子予測を満たすが、期待値のノーガス定理で要求される凸線形性条件を破る反例であるため、明確である。
• 最初のブートストラップ定理により、より大きなヒルベルト空間上に期待値表現が存在する場合、任意の閉部分空間上にもそれが誘導され、整合性が保たれる。