[論文レビュー] Common dynamics of two Pisot substitutions with the same incidence matrix

Tarek Sellami|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、同じインシデント行列を共有する2つの異なるPisot置換の間で共通する動的構造を調査する。もし片方の置換に関連するRauzyフラクタルの原点が内部点であるならば、その交差は「バランスの取れたブロック」上の置換によって生成される置換的集合をなすことが証明され、その置換を導出する構成的アルゴリズムが得られ、共通する力学的構造を幾何学的および組合的に特徴づける。

ABSTRACT

The matrix of a substitution is not sufficient to completely determine the dynamics associated, even in simplest cases since there are many words with the same abelianization. In this paper we study the common points of the canonical broken lines associated to two different Pisot irreducible substitutions $\\sigma_1$ and $\\sigma_2$ having the same incidence matrix. We prove that if 0 is inner point to the Rauzy fractal associated to $\\sigma_1$ these common points can be generated with a substitution on an alphabet of so-called "balanced blocks".

研究の動機と目的

• 同じインシデント行列を持つ2つの異なるPisot置換の間の動的および幾何的関係を理解すること。
• 原点が片方のフラクタルの内部にある場合に、それらのRauzyフラクタルの交差を分析すること。
• 2つの置換に関連する標準的な折れ線の共通点が置換的集合をなすことを証明すること。
• 共通する点を生成する「バランスの取れたブロック」のアルファベット上の明示的置換を構成すること。
• 元の置換から共通する力学的構造を定義する置換を導出するアルゴリズム的手法を提供すること。

提案手法

• 各置換に関連する標準的な段差のある直線の構成を用い、インシデント行列の収縮固有空間に射影する。
• 「バランスの取れたブロック」を、2つの置換の固定点における位置を整合させる最小の有限語として定義し、アベリアン化と幾何的射影が一貫することを保証する。
• Rauzyフラクタルの交差は、これらのバランスの取れたブロックを収縮空間に射影することで分析され、置換的集合を形成する。
• バランスの取れたブロックのアルファベット上に新たな置換を構成し、その軌道閉包が共通点を生成する。
• インシデント行列のユニモジュラリティおよびPisot性に依拠し、一意なPerron-Frobenius固有ベクトルと良好に振る舞う射影の存在を保証する。
• 具体的な例（Tribonacciおよび反転Tribonacci置換）を通じて構成の妥当性を検証し、パラメータiを用いた一連の置換へと一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じインシデント行列を持つ2つのPisot置換が、Rauzyフラクタルで非自明な交差を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 2つの置換の標準的折れ線の共通点は、有限アルファベット上の置換によって記述可能か？
• RQ3 バランスの取れたブロックが、その射影が交差集合を生成することを保証する構造的性質は何か？
• RQ4 原点が片方のRauzyフラクタルの内部にあるという条件が、交差の位相的性質および置換的性質に与える影響は何か？
• RQ5 元の置換から共通する力学的構造を定義する置換を構成するアルゴリズム的手順は存在するか？

主な発見

• 原点が2つのPisot置換のうち片方のRauzyフラクタルの内部点であるならば、それらのRauzyフラクタルの交差は空でない内部を持つ。
• 交差集合は置換的である。つまり、有限アルファベット「バランスの取れたブロック」上の置換の軌道閉包として得られる。
• バランスのブロックのアルファベット上の置換を生成する明示的アルゴリズムが提示されている。
• Tribonacciおよび反転Tribonacci置換の例では、文字'c'はそれぞれの固定点の同じ位置に現れないことが、バランスの取れたブロックの構造に反映されている。
• i ≥ 3でパラメータ化された一連の置換に対しては、共通する力学的構造が6記号（A–F）上の置換によって生成され、バランスの取れたブロック分解から導かれた特定の自己写像規則を有する。
• 同じインシデント行列を持つ置換のペアのうち、Rauzyフラクタルが原点でのみ交差するか、あるいは互いに交差しないものも存在し、原点が内部点であるという条件は一般には必要条件ではあるが十分条件ではないことが示された。