[論文レビュー] Common fixed point theorems for occasionally weakly compatible maps

Hakima Bouhadjera, Christiane Godet-Thobie|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、metric空間における一様な収縮条件と暗黙的関係のクラスを用いた、2組の偶発的弱く可換（owc）単一および集合値写像について、新しい共通固定点定理を確立する。主な貢献は、Aliouche, Bouhadjera, Popa, DjoudiとNisse, Pathakら、ElamraniとMehdaouiの既存の結果を一般化・拡張する統一的枠組みを提供することであり、軽微な連続性および適合性条件の下で共通固定点の存在と一意性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we establish a common fixed point theorem for two pairs of occasionally weakly compatible single and set-valued maps satisfying a strict contractive condition in a metric space. Our result extends many results existing in the literature as those of Aliouche and Popa [15-20]. Also we establish another common fixed point theorem for four owc single and set-valued maps of Gregu% š type which generalizes the results of Djoudi and Nisse, Pathak, Cho, Kang and Madharia and we end our work by giving a third theorem which extends the results given by Elamrani & Mehdaoui and Mbarki.

研究の動機と目的

• 偶発的弱く可換写像の既存の共通固定点定理を、metric空間において統一的かつ拡張すること。
• Aliouche, Bouhadjera, Popa, DjoudiとNisse, および Pathak らの結果を、厳密な収縮暗黙的関係を用いて一般化すること。
• Greguš型の4つのowc写像に関する共通固定点定理を確立し、先行研究を改善すること。
• ElamraniとMehdaoui、および Mbarki の発見を一般化するために、より広範な暗黙的関係のクラスを導入すること。
• 最小限の連続性および適合性仮定の下で、共通固定点の存在と一意性を証明すること。

提案手法

• 非減少関数 Φ を用いた厳密な収縮条件を導入し、Φ(t)=0 となるのは t=0 のときのみであることを仮定する。
• 関数 α, β, γ: [0,∞[ → [0,1[ を用いた暗黙的関係を適用し、すべての t>0 に対して α(t)+β(t)+γ(t) < 1 が成り立つようにする。
• 偶発的弱く可換（owc）写像の概念を用い、f と F がその一致点で正の確率で可換であることを仮定する。
• 集合値写像を扱うために、有界閉部分集合の空間におけるハウスドルフ距離 H と δ-距離を用いる。
• Φ の性質と収縮不等式に基づく背理法を用いて、d(fu,gv)=0 および f²u=fu を証明する。
• 一意性の証明では、第二の共通固定点 w′ を仮定し、厳密不等式条件を用いて矛盾を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶発的弱く可換写像の共通固定点定理は、既存の枠組みを越えて、厳密な収縮条件を用いて一般化可能か？
• RQ2 α, β, γ が合計が1未満であるような暗黙的関係は、共通固定点の存在にどのように影響するか？
• RQ3 DjoudiとNisse、Pathak ら、ElamraniとMehdaoui の結果は、どの程度統一的かつ拡張可能か？
• RQ4 偶発的弱く可換条件は、完全な連続性を要さずに固定点の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 提案された収縮条件の下で、共通固定点の一意性は証明可能か？

主な発見

• 写像のペア {f,F} および {g,G} が偶発的弱く可換であり、暗黙的収縮条件 (3.7) を満たすならば、X 内に唯一の共通固定点を有する。
• 背理法により、厳密不等式 α(t)+β(t)+γ(t)<1 と Φ の性質を用いて d(fu,gv)=0 を示した。
• f²u=fu および g²v=gv が成り立つことが示され、共通値 w=fu=gv が f, g, F, G の固定点であることが示された。
• 一意性は、第二の共通固定点 w′ を仮定し、Φ(d(w,w′))<Φ(d(w,w′)) を導くことで矛盾を示すことにより証明された。
• Aliouche, Bouhadjera, Popa, DjoudiとNisse, Pathak ら, ElamraniとMehdaoui, および Mbarki の先行定理を一般化・改善した。
• 不等式 (3.7) の修正版においても定理は有効であり、和の代わりに max{Φ(d(fx,Gy)), Φ(d(gy,Gy))} を用いることができる。