[論文レビュー] Common fixed points for three or four mappings via common fixed point for two mappings

Cristina Di Bari, Pasquale Vetro|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、選択公理を用いた集合論的選択により、部分集合上で単射写像を構成することで、3つまたは4つの写像に関する一般的な共通不動点結果が、2つの写像に関する対応する結果に還元可能であることを示している。主な貢献は、一般化されたBerinde型の収縮条件の下で、完全な距離空間における弱適合性を仮定した場合に、複雑な複数写像不動点定理が単純な2写像ケースに還元可能であるという統一的な枠組みを提示している。

ABSTRACT

In this paper, we shall show that some coincidence point and common fixed point results for three or four mappings could easily be obtained from the corresponding fixed point results for two mappings.

研究の動機と目的

• 3つまたは4つの写像に関する共通不動点定理が、2つの写像に関する対応する結果から導かれる可能性を示すこと。
• 集合選択を用いて多写像問題を2写像フレームワークに還元することで、既存の不動点定理を一般化すること。
• 4つのパラメータと非負パラメータLを含む一般化された収縮条件の下で、共通不動点の存在性と一意性を確立すること。
• 弱適合性と完備性の仮定を活用して、不動点理論の適用範囲を多写像系へ拡張すること。

提案手法

• Haghiらの補題1を用い、fE = fX かつ f: E → X が単射となるような部分集合 E ⊂ X を選択し、fE 上での新しい自己写像の構成を可能にする。
• g(fx) = Sx および h(fx) = Tx により fE 上で新しい写像 g と h を定義し、3写像問題を完備部分空間上の2写像問題に変換する。
• 定理1を適用し、α, β, γ, δ, L を含むBerinde型の収縮条件を満たす2つの自己写像 S と T の共通不動点を確立する。ここで α+β+γ+2δ < 1 を満たす。
• Lemma 2 を用いて (S,f) および (T,f) の弱適合性を仮定し、一致点が一意な共通不動点に拡張されることを保証する。
• 4つの写像へ拡張するため、2つの制御写像 f と g を導入し、S と T が fX = gX に写像するようにし、fE 上で写像 A と B を構成する。
• A と B の共通不動点が fE 上に存在することを証明し、これが (S,f) と (T,g) の弱適合性および完備性の下で、S, T, f, g の一意な共通不動点に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論的選択を用いて、3つまたは4つの写像に関する共通不動点結果を2写像ケースに還元することは可能か？
• RQ2 弱適合性の下で、3つの写像に対して一意な共通不動点が存在するための収縮条件は何か？
• RQ3 補題1による選択公理の使用が、多写像不動点問題を2写像問題に還元するためにどのように機能するか？
• RQ4 fX の完備性が、収束性と不動点の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 写像が弱適合性を満たす場合、一意な一致点が共通不動点にどのように変換されるか？

主な発見

• パラメータが α+β+γ+2δ < 1 かつ L ≥ 0 を満たす一般化されたBerinde型条件の下で、SX または TX が完備であれば、2つの写像 S と T の共通不動点は存在し、一意である。
• fX が完備で、(S,f) と (T,f) が弱適合性を満たし、条件 (2) が成り立つならば、3つの写像 S, T, f の一意な共通不動点が存在する。
• fX が完備で、(S,f) と (T,g) が弱適合性を満たし、条件 (4) が成り立つならば、4つの写像 S, T, f, g の一意な共通不動点が存在する。
• 条件 (5) の下で、S, T, f の一致点は一意であり、弱適合性のおかげで共通不動点に拡張される。
• 条件 (6) の下で、S, T, f, g の一致点は一意であり、弱適合性のおかげで共通不動点に拡張される。
• 補題1による還元法により、3つまたは4つの写像に関するすべての結果が、2写像ケースから直接導かれることが保証され、証明が簡略化され、既存の定理が一般化される。