[論文レビュー] Common tangents to convex bodies

Federico Castillo, Joseph Doolittle+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2021

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、2つの交わらない円が4本の共通接線を持つという古典的結果を、高次元における任意の凸体へ一般化する。著者らは、極双対性と凸包における可視性に基づく新しい帰納的アプローチを用い、ℝᵈ における m 個の強く分離された凸体が、Sᵈ⁻ᵐ に位相的に同相な共通接超平面の空間を持つことを証明する。これは、d 個の分離された凸体がちょうど 2ᵈ 個の共通接線を持つというビシュツリツキーの定理の組合せ的証明を提供する。

ABSTRACT

A family of k point sets in d dimensions is well-separated if the convex hulls of any two disjoint subfamilies can be separated by a hyperplane. Well-separation is a strong assumption that allows us to conclude that certain kinds of generalized ham-sandwich cuts for the point sets exist. But how hard is it to check if a given family of high-dimensional point sets has this property? Starting from this question, we study several algorithmic aspects of the existence of transversals and separations in high-dimensions. First, we give an explicit proof that k point sets are well-separated if and only if their convex hulls admit no (k - 2)-transversal, i.e., if there exists no (k - 2)-dimensional flat that intersects the convex hulls of all k sets. It follows that the task of checking well-separation lies in the complexity class coNP. Next, we show that it is NP-hard to decide whether there is a hyperplane-transversal (that is, a (d - 1)-transversal) of a family of d + 1 line segments in ℝ^d, where d is part of the input. As a consequence, it follows that the general problem of testing well-separation is coNP-complete. Furthermore, we show that finding a hyperplane that maximizes the number of intersected sets is NP-hard, but allows for an Ω((log k)/(k log log k))-approximation algorithm that is polynomial in d and k, when each set consists of a single point. When all point sets are finite, we show that checking whether there exists a (k - 2)-transversal is in fact strongly NP-complete. Finally, we take the viewpoint of parametrized complexity, using the dimension d as a parameter: given k convex sets in ℝ^d, checking whether there is a (k-2)-transversal is FPT with respect to d. On the other hand, for k ≥ d+1 finite point sets in ℝ^d, it turns out that checking whether there is a (d-1)-transversal is W[1]-hard with respect to d.

研究の動機と目的

• Cappell らの、高次元における厳密に凸な凸体に対する共通接線に関する結果を、非厳密凸な凸体（多面体も含む）にまで拡張すること。
• ℝᵈ における d 個の分離された凸体の共通接線の数に関するビシュツリツキーの定理を、組合せ論的かつ位相的アプローチによって再証明すること。
• ℝᵈ における m 個の強く分離された凸体の共通接超平面の空間が、(d−m)-次元球面 Sᵈ⁻ᵐ に位相的に同型であることを確立すること。
• 極双対性と極凸体における可視性を用いて、共通接超平面の位相的・組合せ的構造を解明すること。

提案手法

• 著者らは、任意の部分集合が残りの集合から超平面で分離可能であることをもって強く分離を定義し、適切な幾何的分離を保証する。
• 問題を凸体族の凸包の極双対凸体における可視性条件に変換するために、極双対性を用いる。
• 双対空間における可視性と分離条件を用いて次元を低くする帰納的議論を構築する。
• Bruggesser–Mani のシェルラビリティのアイデアと多面体的構造を活用し、非厳密凸な凸体（多面体など）に対しても扱えるようにする。
• 滑らかさや厳密凸性に依存しないため、一般の凸体に適用可能である。
• 主な技術的ステップは、分離と接線性を保つ双対性の議論により、接超平面の空間が Sᵈ⁻ᵐ に位相的に同型であることを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝᵈ における m 個の強く分離された凸体の共通接超平面の集合の位相的構造は何か？
• RQ2 2つの交わらない円が4本の接線を持つという古典的結果は、高次元における任意の凸体へ拡張可能か？
• RQ3 ビシュツリツキーの定理（ℝᵈ における d 個の分離された凸体がちょうど 2ᵈ 個の共通接線を持つ）は、組合せ論的かつ位相的アプローチによって再証明可能か？
• RQ4 凸体が厳密凸でない場合、例えば多面体の場合、共通接線の空間はどのように振る舞うか？
• RQ5 ℝᵈ における m ≤ d 個の強く分離された凸体の共通接線の空間は、常に Sᵈ⁻ᵐ に位相的に同型か？

主な発見

• ℝᵈ における m 個の強く分離された凸体の共通接超平面の空間は、(d−m)-次元球面 Sᵈ⁻ᵐ に位相的に同型である。
• この結果は、非厳密凸な凸体（多面体など）を含む任意の凸体に対して成り立ち、従来の厳密凸性を仮定する結果を拡張する。
• m = d の場合、共通接超平面の数は正確に 2ᵈ 個であり、これはビシュツリツキーの定理を組合せ論的に確認する。
• 凸体が多面体の場合、共通接超平面の集合は多面体的複体をなしており、これは多面体の境界と組合せ的に同型である。
• 証明手法は従来のアプローチとは本質的に異なり、微分幾何学に依存せず、双対性と帰納的可視性の議論を用いる。
• 単体的分離は強く分離を含むが、逆は成り立たない。これは、論文の図による反例で示されている。