[論文レビュー] Communication and Streaming Complexity of Approximate Pattern Matching

Djamal Belazzougui|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、編集距離下での効率的で決定的(one-way)プロトコルの初の実装を提示する。符号化/復号化時間はO(n·polylog(n))、メッセージサイズはO(k² + k log²n)を達成する。決定的ストリングサンプリングと周期性の性質を用いて、コンパクトで誤り耐性のある署名からバイナリ文字列を強固に再構築可能にし、敵対的編集誤りに対して耐性を持つ新たな誤り訂正符号を実現する。時間計算量はほぼ線形で、冗長性はO(k³ + k² log²n)である。

ABSTRACT

Suppose that we have two parties that possess each a binary string. Suppose that the length of the first string (document) is $n$ and that the two strings (documents) have edit distance (minimal number of deletes, inserts and substitutions needed to transform one string into the other) at most $k$. The problem we want to solve is to devise an efficient protocol in which the first party sends a single message that allows the second party to guess the first party's string. In this paper we show an efficient deterministic protocol for this problem. The protocol runs in time $O(n\cdot \mathtt{polylog}(n))$ and has message size $O(k^2+k\log^2n)$ bits. To the best of our knowledge, ours is the first efficient deterministic protocol for this problem, if efficiency is measured in both the message size and the running time. As an immediate application of our new protocol, we show a new error correcting code that is efficient even for large numbers of (adversarial) edit errors.

研究の動機と目的

• 編集距離下での効率的で決定的なワンウェイドキュメント交換プロトコルを設計するという未解決問題を解決すること。
• 任意のkに対して、低メッセージサイズと多項式時間の符号化/復号化を両立すること。
• 敵対的編集誤りに耐性を持つ、時間計算量がほぼ線形のスケーラブルな誤り訂正符号を構築すること。
• 従来の確率的スキームや、効率が悪い、あるいはkが小さい場合に限定された決定的符号の制限を克服すること。

提案手法

• ビシュキンの補題を用いた決定的ストリングサンプリングにより、部分文字列のコンパクトで一意な署名を生成する。
• 周期性の補題（ファイン＝ウィルフおよび関連する補題）を適用し、ストリングマッチングにおける誤検出を特定・排除する。
• ドキュメントをブロックに階層的に分解し、周期長と決定的サンプルに基づいて再帰的に署名を計算する。
• ブロック署名にリード・ソロモン符号を適用し、メッセージにおける誤り耐性を確保する。
• 最終的なメッセージに(2k+1)-リピート符号を適用し、送信された署名に最大k件の編集誤りが生じても耐えられるようにする。
• すべてのコンponentsを1ラウンド、ワンウェイプロトコルに統合し、送信者はコンパクトな署名を送信し、受信者は周期性と署名マッチングを用いて元の文字列を再構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のkに対して、低メッセージサイズと多項式時間計算量を両立する決定的でワンウェイドキュメント交換プロトコルを設計可能か？
• RQ2 情報理論的下界Θ(k log(n/k))に近いメッセージサイズを維持しつつ、多項式時間の復号化を達成可能か？
• RQ3 このようなプロトコルを用いて、敵対的編集誤りに耐性を持つ効率的誤り訂正符号を構築可能か？
• RQ4 この文脈で、確率的署名（例：ラビン＝カープ）に代えて決定的ストリング署名を用いる場合、効率性や正しさを損なわずに実現可能か？
• RQ5 k個の敵対的編集誤りを、nに多項式時間で是正できる決定的符号に必要な最小冗長性は何か？

主な発見

• プロトコルはO(k² + k log²n)ビットのメッセージサイズを達成し、効率性と正しさを両立する決定的バインディングの最初のものである。
• 符号化および復号化時間はO(n·polylog(n))であり、大規模な入力および任意のkに対して効率的である。
• 冗長性O(k³ + k² log²n)ビットの新たな誤り訂正符号を実現可能であり、k = O(n^{1/3})までスケーラブルに拡張可能である。
• 敵対的編集誤りに対して強く、メッセージに最大k件の編集誤りが生じても、受信者が元の文字列を再構築可能である。
• 決定的サンプリングと周期性補題の使用により、ランダムネスに依存せず正しさが保証され、従来の確率的プロトコルとは異なり、ランダムネスに依存しない。
• 特にkが大きい場合に、決定的アプローチとしての従来の手法に比べ、メッセージサイズと時間計算量の両面で優れている。