[論文レビュー] Communication Complexities of XOR functions

Yaoyun Shi, Zhiqiang Zhang|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、F(x,y) = S(|x⊕y|) の形をとる対称XOR関数—すなわち、入力のXORのハミング重みにのみ依存するブール関数—の決定的、ランダム化、量子通信複雑性をきめ細やかに特定する。非自明な対称XOR関数に対して、決定的複雑性は常にΘ(n)であることを示し、一方ランダム化および量子複雑性は、S(k)の周期性を捉えるパラメータr₀とr₁によって、Θ(r₀ + r₁) で厳密に束縛される。

ABSTRACT

We call $F:\{0, 1\}^n imes \{0, 1\}^n o\{0, 1\}$ a symmetric XOR function if for a function $S:\{0, 1, ..., n\} o\{0, 1\}$, $F(x, y)=S(|x\oplus y|)$, for any $x, y\in\{0, 1\}^n$, where $|x\oplus y|$ is the Hamming weight of the bit-wise XOR of $x$ and $y$. We show that for any such function, (a) the deterministic communication complexity is always $Θ(n)$ except for four simple functions that have a constant complexity, and (b) up to a polylog factor, the error-bounded randomized and quantum communication complexities are $Θ(r_0+r_1)$, where $r_0$ and $r_1$ are the minimum integers such that $r_0, r_1\leq n/2$ and $S(k)=S(k+2)$ for all $k\in[r_0, n-r_1)$.

研究の動機と目的

• 入力のXORのハミング重みにのみ依存する関数のクラスとしての対称XOR関数の通信複雑性を特定すること。
• 非自明な対称XOR関数の決定的複雑性を解明し、定数複雑性の4つの簡単なケースを除き、常にΘ(n)であることを示すこと。
• 関数の出力の周期性をパrameter化した、ランダム化および量子通信複雑性に対するタイトな上限および下限を提供すること。
• 量子複雑性とランダム化複雑性が多対数因子の範囲内で互いに近いこと—つまり、Log-等価性予想がこのクラスで成り立つこと—を確認すること。

提案手法

• Sがハミング重みから{0,1}への写像であるF(x,y) = S(|x⊕y|)として対称XOR関数を定義し、関数fのフーリエ解析を用いてその通信複雑性を分析する。
• 行列のランクの対数と決定的複雑性を関連付けるLog-Rank予想の枠組みを用い、非自明な対称XOR関数が中間のハミング重み範囲における非ゼロのフーリエ係数を有することから、ランクが2^Ω(n)であることを示す。
• S(k) = S(k+2) がすべてのk ∈ [r₀, n−r₁) で成り立つ最小の整数r₀, r₁を導入し、Sの周期的挙動を捉えるパラメータとする。
• ハミング距離問題HAMₙ,ₙの繰り返し呼び出しを用い、小さなハミング重み区間における二分探索により|x⊕y|を正確に特定するランダム化プロトコルを構築する。
• HuangらのHAMₙ,ₙに対するO(d log d)のワンウェイプロトコルを活用し、r = max(r₀, r₁) として、コストO(r log²r log log r)の二方向ランダム化プロトコルを構築する。
• 関数の否定と補完性に関する対称性と双対性の議論を用いて、ハミング距離問題への還元により、量子下界Ω(r)を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な対称XOR関数の決定的通信複雑性は何か？
• RQ2 ランダム化および量子通信複雑性は、関数の出力関数Sの周期的構造とどのように関係するか？
• RQ3 量子複雑性とランダム化複雑性が多対数因子の範囲内で互いに近い—すなわち、Log-等価性予想—が対称XOR関数に対して成り立つかどうか？
• RQ4 対称XOR関数のワンウェイ通信複雑性は何か？ そして、これは二方向の場合と比べてどうなるか？

主な発見

• 任意の非自明な対称XOR関数Fに対して、決定的通信複雑性D(F)は、定数複雑性の4つの簡単な関数を除き、常にΘ(n)である。
• ランダム化通信複雑性R(F)はO(r log²r log log r) であり、r = max(r₀, r₁) であるが、この上限はほぼタイトである。
• 量子通信複雑性Q(F)はΩ(r)であり、この下界は多対数因子の範囲内で上界と一致するため、このクラスにおけるLog-等価性予想が確認された。
• 非自明な対称XOR関数に対して、Fの行列ランクは2^Ω(n)である。これは、Log-Rank予想を満たすことを確認する。
• ワンウェイランダム化複雑性はO(r² log²r) であり、このモデルにおける最良の既知の上限と下限の間に、2乗のギャップが存在する。
• 対称XOR関数の無限誤差通信複雑性は、|{t : S(t) ≠ S(t+2)}| と推定されるが、これは未解決のままである。