[論文レビュー] Community Detection Based on the $L_\infty$ convergence of eigenvectors in DCBM

Yan Liu, Zhiqiang Hou+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次数補正付きストークスティックブロックモデル（DCBM）下での隣接行列の固有ベクトルの $L_\infty$ 収束速度を確立し、確率的収束が $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ の速度で成立することを証明する。また、固有ベクトル成分の比に基づく、新規のスペクトラルクラスタリング手法 SCDRE を提案し、一貫性のあるコミュニティ検出を達成し、シミュレーションでも既存手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

Spectral clustering is one of the most popular algorithms for community detection in network analysis. Based on this rationale, in this paper we give the convergence rate of eigenvectors for the adjacency matrix in the $l_\infty$ norm, under the stochastic block model (BM) and degree corrected stochastic block model (DCBM), adding some mild and rational conditions. We also extend this result to a more general model, presented based on the DCBM such that the value of random variables in the adjacency matrix is not 0 or 1, but an arbitrary real number. During the process of proving the above conclusion, we obtain the relationship of the eigenvalues in the adjacency matrix and the corresponding `population' matrix, which vary in dimension from the community-wise edge probability matrix. Using that result, we can give an estimate of the number of the communities in a known set of network data. Meanwhile we proved the consistency of the estimator. Furthermore, according to the derivation of proof for the convergence of eigenvectors, we propose a new approach to community detection -- Spectral Clustering based on Difference of Ratios of Eigenvectors (SCDRE). Our simulation experiments demonstrate the superiority of our method in community detection.

研究の動機と目的

• DCBM下での隣接行列の固有ベクトルの確率的 $L_\infty$ 収束速度を確立すること。
• DCBMフレームワーク下で、隣接行列の固有値とそれに対応する母集団行列の固有値との関係を導出すること。
• 固有ベクトル成分の比に基づく、新たなコミュニティ検出手法 SCDRE を開発すること。
• 固有値と固有ベクトルの関係を用いて、コミュニティ数の一貫性推定器を提供すること。
• 隣接行列の要素が 0 または 1 に限定されない、任意の実数である一般化モデルへの理論的結果の拡張すること。

提案手法

• ランダム行列理論とウィグナー行列の結果を用いて、$L_\infty$ ノルムにおける固有ベクトル収束を分析する。
• やや弱い条件下で、主要固有ベクトルについて $\|U_t - Q_t T_t\|_\infty = o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ の収束速度を導出する。
• 固有ベクトル成分の比を用いた、スペクトラルクラスタリングに基づく差比の比（SCDRE）手法を導入する。
• 母集団行列における固有値と固有ベクトルの構造を用いて、コミュニティ数推定器の一貫性を確立する。
• 隣接行列の要素が 0–1 に制限されない任意の実数である一般化モデルへ理論的結果を拡張する。
• デイビス–カハンの定理と直交分解技術を用いて、$L_\infty$ 範囲における固有ベクトルの摂動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DCBM下での隣接行列の固有ベクトルの確率的 $L_\infty$ 収束速度は何か？
• RQ2 DCBMにおける隣接行列の固有値・固有ベクトルは、母集団行列のそれらとどのように関係するか？
• RQ3 固有ベクトル成分の比を用いて、ネットワークのコミュニティ数を一貫して推定できるか？
• RQ4 提案された SCDRE 手法は、既存のスペクトラルクラスタリング手法よりも優れたコミュニティ検出性能を達成するか？
• RQ5 理論的収束結果は、隣接行列要素が 0 または 1 に限定されない任意の実数をとる一般化モデルへ拡張可能か？

主な発見

• DCBM下では、隣接行列の固有ベクトルが母集団行列の固有ベクトルに $L_\infty$ ノルムで $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ の速度で収束する。
• 提案された SCDRE 手法は、ベースラインのスペクトラルクラスタリングと比較して、シミュレーション実験で優れたコミュニティ検出性能を示す。
• 隣接行列と母集団行列の固有値および固有ベクトルの関係を用いて、コミュニティ数を一貫して推定可能である。
• ノード $i$ と $j$ が同じコミュニティに属する場合にのみ、固有ベクトル比 $RR_\zeta(i,j)$ が 1 に等しくなることが示され、異なるコミュニティに属する場合に矛盾が生じる。
• やや弱い正則性条件の下で、DCBMにおけるコミュニティ数推定器の一貫性が理論的に証明された。
• 収束結果は、隣接行列要素が 0 または 1 に限定されない任意の実数である一般化モデルへ拡張された。