[論文レビュー] Commutant structuture of Ux...xUxU* transformations

Michał Studziński, Michał Horodecki+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n-クイッド系の最後のシステムにおける部分的に転置された置換演算子の代数に対する、完全に直接的な非可約表現（irreps）の構成を提供する。これは、$ U \otimes U^* $ の可換子構造を一般化するものである。対称群 $ S(n) $、ブラウアー代数、ウォールド・ブラウアー代数の表現論を用いて、$ d > n-2 $ のとき代数 $ \mathcal{A} $ が半単純であることを確立し、すべての $ d $ と $ n $ に対して完全な非可約分解を提供する。非可約表現は群のキャラクターと射影演算子を用いて明示的に構成されている。

ABSTRACT

In this paper we have found irreducible representations (irreps) of the algebra of partially transposed permutation operators on last subsystem. We give here direct method of irreps construction for an arbitrary number of subsystems n and local dimension d. Our method is inspired by representation theory of symmetric group S(n), theory of Brauer Algebras and Walled Brauer Algebras.

研究の動機と目的

• 任意の $ n $ と局所次元 $ d $ に対して、$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ 変換の可換子代数 $ \mathcal{A} $ の完全な非可約分解を特定すること。
• 対称群の表現論とブラウアー代数の構造にインspiredされた、代数 $ \mathcal{A} $ の非可約表現（irreps）を直接構成する方法を確立すること。
• 特に $ d > n-1 $ のとき $ \mathcal{A} $ がウォールド・ブラウアー代数に同型である条件を明確にし、$ d \leq n-1 $ のときその同型がなぜ失敗するかを分析すること。
• $ \mathcal{A} $ の半単純性を調査し、ウォールド・ブラウアー代数が非半単純である場合でも、$ d \leq n-2 $ のとき $ \mathcal{A} $ が依然として半単純であることを示すこと。
• 有限群の表現論からの直交関係を用いて、非可約射影演算子 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} $ の明示的公式を提供すること。

提案手法

• シュール＝ワイエルシュトラウス双対性および対称群 $ S(n) $ の表現論を活用し、$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ がヒルベルト空間上で作用するときの分解を実行する。
• 群代数 $ S(n) $ を用いて代数 $ \mathcal{A} $ の非可約表現を構成し、$ n $ の分割によってラベル付けされた非可約表現を定義する。非可約表現の射影演算子 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} $ はキャラクターの直交性により定義される。
• 非可約表現の基本直交関係を適用する：$ \frac{1}{n!} \sum_{g \in G} D_{ij}^{\alpha}(g) D_{kl}^{\beta}(g^{-1}) = \frac{1}{d_\alpha} \delta^{\alpha\beta} \delta_{ik} \delta_{jl} $、これにより行列の合成則 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} \operatorname{E}_{kl}^{\beta} = \delta^{\alpha\beta} \delta_{jk} \operatorname{E}_{il}^{\alpha} $ を導出する。
• 公式 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} = \frac{d_\alpha}{n!} \sum_{g \in S(n)} D_{ij}^{\alpha}(g) D(g) $ を用い、$ D(g) $ が $ g \in S(n) $ に対応する置換演算子であると定義することで、代数 $ \mathcal{A} $ 内の非可約射影を定義する。
• $ \mathcal{A} $ の次元を分析し、$ d > n-1 $ のとき $ n! $ に等しくなるが、$ d \leq n-1 $ のとき線形従属（例：反対称射影演算子が $ d = n-1 $ で消える）により $ n! $ 未満に低下することを示す。
• $ \mathcal{A} $ をウォールド・ブラウアー代数と比較し、$ d > n-1 $ のときのみ同型であることを示し、$ d \leq n-2 $ であっても $ \mathcal{A} $ が半単純のままであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-クイッド系の最後のシステムにおける部分的に転置された置換演算子の代数 $ \mathcal{A} $ の完全な非可約分解は何か？
• RQ2 代数 $ \mathcal{A} $ がウォールド・ブラウアー代数に同型である条件は何か？また、$ d \leq n-1 $ のときその同型がなぜ失敗するのか？
• RQ3 $ \mathcal{A} $ の半単純性は局所次元 $ d $ とシステム数 $ n $ にどのように依存するか？また、ウォールド・ブラウアー代数の半単純性と比べてどうなるか？
• RQ4 群のキャラクターと射影演算子を用いて、$ \mathcal{A} $ の非可約表現を直接的かつ構成的に構築する方法は開発可能か？
• RQ5 対称群 $ S(n) $ 及びその非可約表現は、$ \mathcal{A} $ の分解に果たす役割は何か？また、$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $-不変演算子の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 代数 $ \mathcal{A} $ は、$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $-不変演算子からなるが、$ d > n-1 $ である場合に限り次元が $ n! $ に等しくなり、$ d \leq n-1 $ のときは基底演算子間の線形従属のため、次元が小さくなる。
• $ \mathcal{A} $ が半単純であるのは $ d > n-2 $ のときに限られ、この条件は非可約表現への完全な分解が存在するための必要十分条件である。
• $ d > n-1 $ のとき、$ \mathcal{A} $ はウォールド・ブラウアー代数に同型であり、次元は $ n! $ であるが、$ d \leq n-1 $ のときその同型は失敗する。しかし、$ \mathcal{A} $ は依然として半単純のままである。
• 非可約表現は公式 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} = \frac{d_\alpha}{n!} \sum_{g \in S(n)} D_{ij}^{\alpha}(g) D(g) $ を用いて明示的に構成され、ここで $ D^{\alpha} $ は $ S(n) $ の非可約表現である。これらの表現は行列合成則 $ \operatorname{E}_{ij}^{\alpha} \operatorname{E}_{kl}^{\beta} = \delta^{\alpha\beta} \delta_{jk} \operatorname{E}_{il}^{\alpha} $ を満たす。
• この構成により、すべての $ d $ と $ n $ に対して有効な、恒等演算子のヒルベルト空間上での非可約成分への完全な正規直交射影 $ \operatorname{E}_{ii}^{\alpha} $ の集合が得られる。
• 本稿は、$ U^{\otimes(n-1)} \otimes U^* $ 対称性をもつ多粒子状態のPPT基準を、代数 $ \mathcal{A} $ の表現論を用いて分析できることを確立した。明示的な非可約表現により、スペクトル解析や分離可能性のテストが可能になる。