[論文レビュー] Commutation properties of the form sum of positive, symmetric operators

Bálint Farkas, Máté Matolcsi|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、正で対称な作用素の形式和の新規構成法を、完備化された値域空間間の稠密に定義された作用素の随伴を用いて提示する。これは、自己共役作用素に対する標準的な形式和を一般化したものであり、主な貢献は、この拡張が有界作用素と可換になる条件を確立し、特定の定義域条件のもとで形式和が可換性を保つこと、および代数和のクリーヌ拡張やフレドホルム拡張とは異なる場合の反例を提示することにある。

ABSTRACT

A new construction for the form sum of positive, selfadjoint operators is given in this paper. The situation is a bit more general, because our aim is to add positive, symmetric operators. With the help of the used method, some commutation properties of the form sum extension are observed.

研究の動機と目的

• 正で対称な作用素の形式和の構成法を、定義域が稠密でない可能性がある場合にまで、自己共役作用素の場合の一般化を行うこと。
• 形式和拡張が有界作用素と可換になる条件を調査すること。
• 形式和と他の作用素拡張（例えばクリーヌ＝フォン・ノイマン拡張やフレドホルム拡張）との関係を明確にすること。
• 形式和 $ a \stackrel{.}{+} b $ が代数和 $ a + b $ のクリーヌ拡張やフレドホルム拡張と異なる場合の明示的反例を提供すること。

提案手法

• 正で対称な作用素 $ a $ に対して、形式領域 $\mathrm{D_{\ast}}(a)$ を、すべての $ x \in \mathrm{dom}\,a $ に対して $|(ax,y)|^2 \leq m_y (ax,x)$ を満たすベクトル $ y $ の集合として定義する。
• 作用素 $ J: \mathfrak{H}_a \oplus \mathfrak{H}_b \to \mathfrak{H} $ を $ \mathrm{ran}\,a \oplus \mathrm{ran}\,b $ 上で $ J(ax \oplus by) = ax + by $ により構成し、$\mathfrak{H}_a$ を $\mathrm{ran}\,a$ を内積 $\langle ax, ay \rangle = (ax, y)$ で完備化したものとする。
• $\mathrm{dom}\,J^* = \mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b)$ であり、$ u \in \mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b $ に対して $ J^*u = au \oplus bu $ であることを示し、随伴作用素が稠密に定義されていることを保証する。
• $ J^{**}J^* $ が正の自己共役作用素であることを確立し、$\mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b$ 上で $ a + b $ を拡張することを証明することで、形式和を定義する。
• 表現定理を用いて $ J^{**}J^* $ を形式和 $ a \stackrel{.}{+} b $ と同定し、$ a $ と $ b $ が自己共役である場合には標準的な形式和に一致することを検証する。
• 有界作用素との可換性を示すために、$ T $ が $ a $ と $ b $ と可換であり、かつ $ \mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b) $ が $ T $ に関して不変であるならば、$ T $ は $ J^{**}J^* $ と可換であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正で対称な作用素の形式和拡張が、有界作用素と可換になる条件は何か？
• RQ2 この新しい形式和の構成法は、自己共役作用素に対する古典的な形式和とどのように関係しているか？
• RQ3 形式和 $ a \stackrel{.}{+} b $ が代数和 $ a + b $ のクリーヌ＝フォン・ノイマン拡張やフレドホルム拡張と異なる場合があるか？
• RQ4 $ a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{K}} $ または $ a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{F}} $ が成り立つための条件は何か？
• RQ5 形式和が代数和の拡張と一致しない明示的例を構成することは可能か？

主な発見

• 形式和 $ a \stackrel{.}{+} b $ は $ J^{**}J^* $ を通じて $\mathrm{dom}\,a \cap \mathrm{dom}\,b$ 上で $ a + b $ を拡張し、$\mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b)$ が稠密であるとき、自己共役である。
• この構成法は、$ a $ と $ b $ が自己共役である場合に $ J^{**}J^* $ が $ a \stackrel{.}{+} b $ と一致することから、自己共役作用素に対する標準的な形式和を一般化する。
• 有界作用素 $ T $ が $ a $ と $ b $ と可換であり、かつ $ \mathrm{D_{\ast}}(a) \cap \mathrm{D_{\ast}}(b) $ が $ T $ に関して不変であるならば、$ T $ は $ a \stackrel{.}{+} b $ と可換である。
• 反例として、$ a_{\mathsf{K}} $ と $ a_{\mathsf{F}} $ が非ゼロの欠損指数を持つ対称作用素のクリーヌ拡張とフレドホルム拡張である場合、$ a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{K}} $ となる例が存在する。
• 同様に、中間拡張 $ a_{\mathsf{M}} $ を用いる場合、$ a_{\mathsf{M}} $ の形式が $ a_{\mathsf{K}} $ の形式の制限でない限り、$ a \stackrel{.}{+} b \neq (a + b)_{\mathsf{F}} $ となる場合がある。
• 正の閉形式を $\ker a^*$ 上に用いた明示的構成により、このような反例が $\dim(\ker a^*) > 0$ のとき常に存在することを示している。