[論文レビュー] Commutative Hopf algebras of permutations and trees

Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、可換な不定元のグラフベースの枠組みを用いて、置換および木の可換ホップ代数を構成し、グロスマン＝ラーソン代数のような非可換ホップ代数の双対と同型であることを確立する。標準的な組合せ的ホップ代数の1パラメータ変形を導入し、特別なパラメータ値における古典的極限をとる量子群の構造を示唆する。

ABSTRACT

We propose several constructions of commutative or cocommutative Hopf algebras based on various combinatorial structures, and investigate the relations between them. A commutative Hopf algebra of permutations is obtained by a general construction based on graphs, and its non-commutative dual is realized in three different ways, in particular as the Grossman-Larson algebra of heap ordered trees. Extensions to endofunctions, parking functions, set partitions, planar binary trees and rooted forests are discussed. Finally, we introduce one-parameter families interpolating between different structures constructed on the same combinatorial objects.

研究の動機と目的

• 置換や木の組合せ的構造から、グラフベースの不定元を用いて可換ホップ代数を体系的に構成すること。
• これらの可換代数とグロスマン＝ラーソン代数のような既知のホップ代数の非可換双対との同型関係を確立すること。
• 終멱関数、パークイング関数、集合分割、根付き森といった構造へこの構成を一般化すること。
• 標準的および変形されたホップ代数構造の間を補間する1パラメータ族を探索し、量子群の解釈を示唆すること。

提案手法

• 可換不定元 x_{ij} と関係式 x_{ij}x_{ik} = 0 を用いて代数 R/J を定義し、終멱関数に関連する M_f 多項式の基盤を構築する。
• FQSym の部分代数として EQSym を構成し、置換のシャッフル積と係数 C_{f,g}^h（有効な再配置を数える）により乗法を定義する。
• コプロダクト ΔM_h = ∑_{f•g=h} M_f ⊗ M_g を定義し、EQSym が可換で非ココルネートなホップ代数であることを示す。
• 階数付き双対 ESym = EQSym* を cocommutative かつ連結なホップ代数として実現し、連結な終멱関数によって自由に生成される。
• FQSym に1パラメータ族のねじれコプロダクト Δ_q を導入し、標準的 FQSym（q が一般）と可換 QSym（q=0）の間を補間する。
• q-アナログのハイポプラクティックおよびシルベスター合同関係を定義し、FQSym の q-変形商を QSym_q および平面2分木のねじれホップ代数と同型に構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフベースの不定元から、置換および木の可換ホップ代数を体系的に構成できるか？
• RQ2 これらの可換ホップ代数は、グロスマン＝ラーソン代数のような標準的組合せ的ホップ代数の非可換双対とどのように関係しているか？
• RQ3 標準的ホップ代数（例：FQSym）の1パラメータ変形は、古典的極限を持つ量子群構造をもたらすか？
• RQ4 ハイポプラクティックおよびシルベスター合同関係の q-アナログを定義し、QSym および Loday-Ronco 代数の q-変形版を実現できるか？
• RQ5 包あらわし代数とその双対の間をパrameter化されたホップ代数構造で統一的に補間する枠組みは存在するか？

主な発見

• 終멱関数 f に対する M_f で生成される代数 EQSym は、乗法 M_f M_g = ∑ C_{f,g}^h M_h を持つ可換で非ココルネートなホップ代数であり、C_{f,g}^h は h = τ⁻¹∘(f•g)∘τ を満たすシャッフル再配置の数を数える。
• 双対ホップ代数 ESym = EQSym* はココルネートで、連結な終멱関数の双対基底によって自由に生成され、乗法はシフトされた連結積で与えられる。
• ホップ代数 EQSym は、ヒープ順序付き木のグロスマン＝ラーソン代数の非可換双対と同型であり、非自明な双対性を確立する。
• FQSym に1パラメータ族のねじれコプロダクト Δ_q を導入し、FQSym（q が一般）と QSym（q=0）の間を補間する。Δ_q は代数準同型であり、q が一般のとき FQSym と同型である。
• FQSym における q-ハイポプラクティック商 ≡_{qH} の像は、q-可換アルファベットを持つねじれホップ代数として QSym_q と同型である。
• q-シルベスター合同関係 ≡_{qS} は、平面2分木の Loday-Ronco 代数の q-変形と同型なねじれホップ代数をもたらす。