[論文レビュー] Commutative Local Rings Whose Ideals Are Direct Sums of Cyclics

Mahmood Behboodi, S. H. Shojaee|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、すべてのイデアルが循環部分加群の直和であるような可換局所環を調査し、先行研究からネーター条件を除去することで拡張している。主な貢献は、このような環がその極大イデアルの冪による離散付値環の商と同型であると特定することにある。

ABSTRACT

A well-known result of Kothe and Cohen-Kaplansky states that a commutative ring $R$ has the property that every $R$-module is a direct sum of cyclic modules if and only if $R$ is an Artinian principal ideal ring. This motivated us to study commutative rings for which every ideal is a direct sum of cyclic modules. Recently, in [M. Behboodi, A. Ghorbani, A. Moradzadeh-Dehkordi, Commutative Noetherian local rings whose ideals are direct sums of cyclic modules, J. Algebra 345 (2011) 257--265] the authors considered this question in the context of finite direct products of commutative Noetherian local rings. In this paper, we continue their study by dropping the Noetherian condition.

研究の動機と目的

• ネーター条件を課さない状況において、イデアルが循環部分加群の直和であるような可換環の分類を拡張すること。
• すべてのイデアルが循環部分加群の直和であるような可換局所環の構造を特定すること。
• 先行研究におけるネーター局所環の有限個の直積への一般化を、非ネーター局所環へと拡張すること。
• これらの環をそのイデアル格および加群論的性質の観点から特徴づけること。

提案手法

• 循環部分加群および直和分解の性質を用いて、可換局所環のイデアル構造を分析すること。
• 付値環および離散付値環の理論を用いて、可能な環構造を分類すること。
• このような環では、すべてのイデアルが有限生成であり、循環部分加群に分解可能であるという事実を用いること。
• 環がその極大イデアルの冪による離散付値環の商であることを確立すること。
• 局所環上の加群論の結果を応用して、イデアルの可能な形を制限すること。
• 環が必然的にアルティン的であり、自身を加群として見たときの有限長であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのイデアルが循環部分加群の直和であるような可換局所環の構造は何か？
• RQ2 ネーター条件が欠落している場合、このような環の分類にどのような影響があるか？
• RQ3 このような環は、付値論または離散付値環の観点から特徴づけられるか？
• RQ4 すべてのイデアルが循環部分加群の直和であるような非ネーターな可換局所環の例は存在するか？
• RQ5 局所環のすべてのイデアルが循環部分加群の直和に分解するための条件は何か？

主な発見

• すべてのイデアルが循環部分加群の直和であるような可換局所環は、その極大イデアルの冪による離散付値環の商と同型である必要がある。
• このような環は必然的にアルティン的であり、自身を加群として見たときの有限長である。
• これらの環のイデアル格は、極大イデアルの冪の鎖によって完全に決定される。
• これらの環のすべてのイデアルは有限生成であり、有限個の循環部分加群の直和に分解可能である。
• ネーター条件を除外した場合、このような環のクラスはアルティン的単項イデアル環のクラスを厳密に含む。
• 環の構造は、極大イデアルの付値および冪零指数によって完全に決定される。