[論文レビュー] Commutative monads as a theory of distributions

Anders Kock|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Logic, programming, and type systems参考文献 16被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、双対化の二重化を避けるために、デカルト閉圏における可換モノイドを用いた、分布のための新しい代数的枠組みを提案する。質量や電荷分布のような広義の量の圏論的基盤を提供する。普遍的な積分と微分の理論を確立し、標準的な積分公理を用いて、総和がゼロである分布には一意な原始関数が存在することを示し、合成微分幾何学の仮定の下で分布積に対するライプニッツ則を導出する。

ABSTRACT

The theory of commutative monads on cartesian closed categories provides a framework where aspects of the theory of distributions and other extensive quantities can be formulated and some results proved. We make explicit a link between our theory and the theory of Schwartz distributions of compact support. We also discuss probability distributions.

研究の動機と目的

• 関数解析学の二重双対化に依存しない、モノイド的で圏論的な分布の基盤を構築すること。
• 質量や電荷分布のような広義の量を、デカルト閉圏における共変ファンクターとして形式化すること。
• このモノイドに基づく理論とシュワーツの分布論との間の標準的比較を提供すること。
• 台がコンパクトで総和がゼロである分布に対して、普遍的な積分公理を確立し、一意な原始関数を保証すること。
• 合成微分幾何学の仮定の下で、テスト関数への分布の作用に対するライプニッツ則を導出すること。

提案手法

• デカルト閉圏 E における可換モノイド T を用いて、分布を T(X) としてモデル化し、T(X) を X 上の自由 T代数とする。
• 要素を分布へ埋め込むための普遍的構成として、単位写像 η: X → T(X) を用い、T線形拡張に関する普遍性を満たす。
• 各分布にスカラー値を割り当てる総和関数 tot: T(R) → R を導入し、積分の一般化とする。
• 微分を無限小群 D（d²=0 を満たす）の作用により定義し、P′ を P の微分として pushforward α_d* を用いて定義する。
• 積分公理を適用：tot(Q)=0 を満たす Q ∈ T(R) に対して、P′ = Q を満たす一意な原始関数 P が存在する。
• 分布が関数に作用する方法をペアリング ⊢: T(R) × (R ⇀ R) → T(R) で定義し、KL加群におけるテスト関数を用いてライプニッツ則を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数解析学の二重双対化に依存せずに、台がコンパクトな分布を圏論的に公理化することは可能か？
• RQ2 可換モノイドの文脈において、単位写像 η: X → T(X) が満たす普遍的性質は何か？
• RQ3 総和がゼロである分布に対して、一意な原始関数を保証する標準的な積分理論を定義可能か？
• RQ4 モノイド構造と合成微分幾何学の仮定から、分布積に対するライプニッツ則はどのように導かれるか？
• RQ5 このモノイドに基づく理論と古典的なシュワーツ分布との関係は何か？

主な発見

• 積分公理により、tot(Q) = 0 を満たす任意の分布 Q ∈ T(R) に対して、P′ = Q を満たす一意な原始関数 P が存在し、この一意性は「P′ = 0 ならば P = 0」であるという命題と同値である。
• 区間分布 [a,b] の総和は b−a に等しく、評価関数 E を用いて E(δ_b − δ_a) = b−a から導出される。
• 畳み込みの列 [−a,a], [−a,a]*[−a,a], … はそれぞれの総和が (2a)^n であり、2a=1 のとき、これらはガウス分布に近づく確率分布の列を形成するが、現在の枠組みではコンパクトな台がないため、その収束は成立しない。
• ライプニッツ則が証明された：(P ⊢ φ)′ = P′ ⊢ φ − P ⊢ φ′。これはペアリングの双加法性と乗法のライプニッツ則を用いて導出される。
• ライプニッツ則の証明は、十分な数の B-値テスト関数（B は自由 T代数＝KL加群）の存在に依存し、ペアリングと微分の間のスイッチ性質を用いる。
• 本理論は、モノイド論と合成微分幾何学に根ざし、古典的結果を一般化する、標準的かつ普遍的な分布微分積分学の枠組みを提供する。