[論文レビュー] Commutative Poisson subalgebras for the Sklyanin bracket and deformations of known integrable models

В. В. Соколов, A. V. Tsiganov|ArXiv.org|Dec 8, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スクラヤニン括弧に対して、新しい可換ポアソン部分代数の族を構成し、既知の可積分系（ゴリャチェフ＝チャプリントップ、トーダ格子、ヘイゼンベルクスピン鎖）を変形する、対合する積分を生成する。多項式および有理関数的変形をハミルトニアンに施すことにより、高次項や有理項を含む明示的な可積分モデルを導出し、変数分離を保ちつつ分離曲線を変更する。

ABSTRACT

A hierarchy of commutative Poisson subalgebras for the Sklyanin bracket is proposed. Each of the subalgebras provides a complete set of integrals in involution with respect to the Sklyanin bracket. Using different representations of the bracket, we find some integrable models and a separation of variables for them. The models obtained are deformations of known integrable systems like the Goryachev-Chaplygin top, the Toda lattice and the Heisenberg model.

研究の動機と目的

• スクラヤニン括弧に対して、標準的トレース部分代数 $\mathfrak{A}_N^0$ を一般化した $N$ 次元可換ポアソン部分代数 $\mathfrak{A}_N^M$ を構成すること。
• 既知の可積分系（ゴリャチェフ＝チャプリントップ、トーダ格子、ヘイゼンベルクスピン鎖）に対して、ハミルトニアンにおける高次多項式および有理関数による明示的変形を提供すること。
• 元の系と同一の正準的変数分離を保ちつつ、分離曲線を変更することで、可積分性を維持すること。
• これらの変形が、特別なカシミールレベル集合上でも、追加の3次積分を有する新しい可積分モデルをもたらすことを示すこと。

提案手法

• 構成は、$\lambda$ に関する多項式を成分とする $2\times2$ 行列 $T(\lambda)$ に依拠し、その係数がスクラヤニン括弧の下でポアソン代数をなす。
• 新しい可換部分代数 $\mathfrak{A}_N^M$ は、$N$ 個の対合する積分 $I_1^M, \dots, I_N^M$ によって生成され、$T(\lambda)$ の係数における次数 $M$ の多項式が生成子となる。
• 変数分離は、ゴリャチェフ＝チャプリントップから得られる正準変数を用い、元の系と同一の $q_{1,2}, p_{1,2}$ を用いる。
• この手法は、スクラヤニン括弧の異なる表現に適用可能である：剛体に対しては $e(3)$ 上、トーダ格子に対しては $\mathbb{R}^{2N}$ 上、スピン鎖に対しては $sl^*(2)^N$ 上。
• 生成多項式に追加パラメータ $a_m, b_m, c_m$ を導入することで変形を導入し、運動量および座標に関して2次または有理関数的ハミルトニアンが得られる。
• 可積分性は、変形ハミルトニアンが追加の3次積分と可換であることを示すことにより検証され、特に $(x,J)=0$ のカシミールレベル集合上で成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スクラヤニン括弧に対して、標準的トレース部分代数を超える高次多項式の可換ポアソン部分代数を構成可能か？
• RQ2 これらの新しい部分代数は、ゴリャチェフ＝チャプリントップやトーダ格子のような既知の系の可積分的変形をもたらすか？
• RQ3 変形モデルにおいて、分離曲線を変更しながらも、元の系と同一の変数分離を維持できるか？
• RQ4 変形ハミルトニアンの明示的形は何か？ また、元の可積分系とはどのように異なるか？
• RQ5 変形系は依然として可積分的であり、標準的量を超える追加の保存量を有するか？

主な発見

• 本稿では、スクラヤニン括弧に対して、行列係数における次数 $M$ の多項式を生成子とする $N$ 次元可換ポアソン部分代数 $\mathfrak{A}_N^M$ を構成し、標準的トレース部分代数 $\mathfrak{A}_N^0$ を一般化する。
• $M=1$ の場合、ゴリャチェフ＝チャプリントップの変形ハミルトニアンは明示的に $H = J_1^2 + J_2^2 + 4J_3^2 + 2c_1x_1 + 2c_2x_2 + c_3J_3 + 4(a_1x_1 + a_2x_2)J_3 - (a_1^2 + a_2^2)x_3^2$ と与えられ、3次積分を保存する。
• 元のゴリャチェフ＝チャプリントップで用いられた正準変数分離変数 $q_{1,2}, p_{1,2}$ は、変形系に対しても有効であるが、分離曲線は変形パラメータによって変更される。
• トーダ格子に対しては、2次変形として $I_{N-1} = -a_0\sum p_i - a_1(\sum_{i>j} p_i p_j + \sum e^{q_{i+1}-q_i}) + e^{q_1}(c_0 + c_1 p_1) - e^{-q_N}(b_0 + b_1 p_N)$ が導出され、可積分性が保たれる。
• スピン鎖に対しては、2次変形ハミルトニアンとして $H = a_0 S_3 + b_0 S_+ + c_0 S_- + a_1(\sum_{j>i}(s_+^i s_-^j + s_3^i s_3^j) - S_3^2) - 2b_1(S_3 S_+ - \sum_{j>i} s_3^i s_+^j + \frac{1}{2}\sum s_3^i s_+^i) - 2c_1(S_3 S_- - \sum_{j<i} s_3^i s_-^j + \frac{1}{2}\sum s_3^i s_-^i)$ が構成される。
• ゴリャチェフ＝チャプリントップの有理関数的変形は $\tilde{H} = (H_1 - a_0(2J_3 - 1))/(2J_3)$ と与えられ、非多項式的だが可積分な元系の変形に対応する。