[論文レビュー] Commuting elements in Galois groups of function fields

Fedor Bogomolov, Yuri Tschinkel|ArXiv.org|Dec 24, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、関数体のpro-pガロア群の非巡回アーベル部分群が、次のレベルの下部中央列にアーベル部分群へと引き上げられるとき、その部分群が非アーケィメデス的順序付けの減少順序群に含まれており、その中で巡回商を持つインertial要素の部分群を含むことを確立する。主な結果は、このような部分群が順序付け理論的構造から生じることを示し、アーベル幾何における最初の非自明なレベルを超える引き上げの障害が存在しないことを確認する。

ABSTRACT

We study abelian subgroups of Galois groups of function fields.

研究の動機と目的

• 関数体のpro-p商におけるアーベル部分群の構造を理解すること。
• このような部分群が、下部中央列の次のレベルにおけるアーベル部分群に引き上げられる条件を特定すること。
• 引き上げ可能なこのようなアーベル部分群が、具体的には減少順序群とインertial群という順序付け理論的データによって制約されることを示すこと。
• 群のフィルトレーションにおける最初の非自明なレベルを超えて引き上げの障害が存在しないことを確立すること。

提案手法

• Kummer理論を用いて、アーベル化の要素をK^* modulo k^* 上のZ_p値対数関数として解釈する。
• 射影空間P(K) = K^*/k^* をモデル化し、関数の対を用いて射影直線からアフィン2次元空間への写像を研究する。
• 対数的性質を適用し、関数が可換である場合、射影直線への制限が定数を除いて線形従属でなければならないことを示す。
• アーベルフラッグ関数（AF関数）の概念を導入し、これは減少順序群内のインチラル要素に対応する。
• 基準を用いて問題を3次元部分空間に還元する：関数がAF関数であるための必要十分条件は、すべての3次元部分空間への制限がAF関数であること。
• 背理法を用いる：2つの独立関数のZ_p線形包にAF関数が存在しないと仮定し、すべての3次元部分空間でAF条件を破るZ/2Z値関数h'を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体のpro-pガロア群の非巡回アーベル部分群が、下部中央列の次のレベルにおけるアーベル部分群に引き上げられる条件は何か？
• RQ2 順序付けが、このような引き上げ可能なアーベル部分群の構造をどのように制約するか？
• RQ3 K^*/k^* 上の対数関数は、ガロア群におけるインチラル群と順序群とどのように関係するか？
• RQ4 2次元Z_p線形包にAF関数が存在することが、可換性の条件下で保証されるか？
• RQ5 アーベル幾何の文脈において、AF関数の幾何的・算術的意味は何か？

主な発見

• Γ^a の非巡回アーベル部分群で、Γ^c におけるアーベル部分群に引き上げられるものは、ある非アーケィメデス的順序付け ν に対して、減少順序群 Γ^a_ν に含まれる。
• その部分群は、I^a_ν 内のインチラル要素の部分群 F' を含み、商 F/F' は位相的に巡回的である。
• 2つの可換関数のZ_p線形包にAF関数が存在することは保証され、このような関数は、ある順序付けのインチラル要素に対応する。
• Γ^a 内の線形独立な関数のペアがc-ペアをなすとき、関数のZ_p線形包が Γ^a_ν に含まれ、1 + m_ν への制限が恒等的に0になるような順序付け ν が存在する。
• 関数が生成する部分群は、F/F' が位相的に巡回的であるようなAF関数の閉部分群 F' を含み、F' はある順序付けのインチラル部分群に対応する。
• すべての引き上げ可能な非巡回アーベル群は、ある減少順序群に含まれており、インチラル要素のコランク1部分群を含む。