[論文レビュー] Commuting Local Hamiltonians on Expanders, Locally Testable Quantum codes, and the qPCP conjecture

Nelson, Jon, Gottesman, Daniel|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、可換局所ハミルトニアン（CLHs）の相互作用グラフにおける小集合拡張性とその基底エネルギーを近似する問題の複雑さとの間の関係を確立し、より良い拡張性を持つグラフでは近似問題がより簡単になること、および最適拡張性のO(ε)の範囲内で問題がNPに属することを示している。さらに、局所的にテスト可能な量子符号（LTCs）の耐障害性と関連づけ、悪い拡張性は符号の耐障害性を低下させることを証明し、量子PCPの近接性に関する研究を開始し、量子PCP予想に対する根本的な制限を強調している。

ABSTRACT

In this work we study a variant of the local Hamiltonian problem where we restrict to Hamiltonians that live on a lattice and are invariant under translations and rotations of the lattice. In the one-dimensional case this problem is known to be QMA_EXP-complete. On the other hand, if we fix the lattice length then in the high-dimensional limit the ground state becomes unentangled due to arguments from mean-field theory. We take steps towards understanding this complexity spectrum by studying a problem that is intermediate between these two extremes. Namely, we consider the regime where the lattice dimension is arbitrary but fixed and the lattice length is scaled. We prove that this rotation-invariant Hamiltonian problem is QMA_EXP-complete answering an open question of [Gottesman and Irani, 2013]. This characterizes a broad parameter range in which these rotation-invariant Hamiltonians have high computational complexity.

研究の動機と目的

• k-局所可換ハミルトニアン（CLHs）の基底エネルギーを近似する問題の複雑さを理解すること、特に量子PCP予想との関係を明らかにすること。
• 特に相互作用グラフの拡張性が符号安定性に与える影響を踏まえて、安定化子符号に基づく局所的にテスト可能な量子符号（LTCs）の耐障害性を調査すること。
• 古典的PCPPの量子版である量子PCPの近接性のアナロジーを探索し、LTCsおよびqPCP予想に与える影響を明らかにすること。
• 拡張性、符号の耐障害性、ハミルトニアンの近似の相乗作用に着目して、量子PCP予想に対する根本的な制限を特定すること。

提案手法

• 小集合拡張性εが最適に近いグラフ上でのCLHの近似複雑度を分析し、その問題が基底エネルギーのO(ε)範囲内でNPに属することを証明する。
• 相互作用グラフ上の再帰的構造（Γ(t)(u)集合を用いて）を用いて誤り重みをバウンディングし、安定化子群に関する誤り重みの下界を導出する。
• チェルノフとホイーディングの不等式を適用して誤り重み分布を制御し、高確率で安定化子群に関する誤り重みがp|S|のまわりに集中することを示す。
• 古典的安定化子符号の耐障害性に関する境界と量子固有の結果を組み合わせ、量子LTCの耐障害性に対する一般上界を導出する。
• 量子PCPの近接性のフレームワークを導入し、古典的PCPPと類似点を明らかにし、量子LTCがこのような構成から誘導可能である可能性を示唆する。
• C*-代数および拡張性グラフ理論の技術を用いて、CLH基底状態におけるもつれと非局所性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CLHインスタンスの相互作用グラフにおける小集合拡張性は、その基底エネルギー近似の複雑さにどのように影響するか？
• RQ2 相互作用グラフの拡張性は、CLHから導出される安定化子符号の耐障害性をどの程度決定づけるか？
• RQ3 量子PCPの近接性は構築可能か？また、それらは量子LTCの存在性およびパラメータとどのように関係するか？
• RQ4 特にCLHおよび量子符号の文脈において、拡張性が量子PCP予想に課す根本的制限は何か？

主な発見

• CLHインスタンスの相互作用グラフが小集合拡張性εを最適に近い値に持つ場合、基底エネルギーをO(ε)の範囲で近似する問題はNPに属する。
• 量子LTCの耐障害性は、拡張性が向上するにつれて減少する関数によって上界が与えられ、高拡張性グラフは耐障害性が低い符号をもたらすことを示唆している。
• 任意の相互作用グラフを持つCLHに対して、対応する量子LTCの耐障害性は、グラフの拡張性特性に依存する関数によって上界が与えられる。
• 本稿では、安定化子群に関する誤り重みが高確率でp|S|のまわりに集中することを証明し、耐障害性解析を可能にしている。
• 特定の誤りの耐障害性は、r ≤ α(1 − γgap)で上界が与えられ、ここでγgapは符号の局所性kに依存するギャップパラメータである。
• DinurのPCP構成法のように小集合拡張性を持つグラフを生成する手法は、CLHのための量子PCP定理の証明には使用できないことが結果から示唆されている。