[論文レビュー] Commuting matrices, and modules over Artinian local rings

George M. Bergman|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーティン局域環上の可換自己準同型の生成する代数の構造を研究することで、ゲルステンハーバーの可換行列に関する定理を一般化する。可換局所アーティン環上の忠実加群の長さは、その極小部分加群の長さによって有界であることが示され、可換行列によって生成される行列代数の次元に対する鋭い上限が得られる。

ABSTRACT

Gerstenhaber showed in 1961 that any commuting pair of n x n matrices over a field k generates a k-algebra A of k-dimension \leq n. A well-known example shows that the corresponding statement for 4 matrices is false. The question for 3 matrices is open. Gerstenhaber's result can be looked at as a statement about the relation between the length of a 2-generator finite-dimensional commutative k-algebra A and the lengths of faithful A-modules. Wadsworth generalized this result to a larger class of commutative rings than those generated by two elements over a field. We recover his generalization, using a slightly improved argument. We then explore some examples, raise further questions, and make a bit of progress toward answering some of them. An appendix gives some results on generation and subdirect decompositions of modules over not necessarily commutative Artinian rings, generalizing a special case used in the paper. What I originally thought of as my main result turned out to have been anticipated by Wadsworth, so I probably won't submit this for publication unless I find further strong results to add. However, others may find interesting the observations, partial results, and questions noted, and perhaps make some progress on them.

研究の動機と目的

• 体上の $ n \times n $ 可換行列に関するゲルステンハーバーの結果を、特にアーティン局域環を含むより一般的な可換環へ拡張すること。
• 可換局所アーティン環上の忠実加群の長さと、それが生成する自己準同型代数の構造との関係を調査すること。
• 特に、環の極小部分加群の長さに関連して、このような環上の忠実加群の最小可能長さを探索すること。
• 特に3つ以上の行列に対して、可換行列によって生成される代数の次元が行列サイズによって有界であるような状況を理解するための枠組みを提供すること。
• 3つ以上の可換行列に対してゲルステンハーバー型の境界が成立しない理由を、加群論的技法と部分単純分解を用いて解明すること。

提案手法

• 有限生成加群の自己準同型に関するケイリー・ハミルトン定理とその推論を用いて、自己準同型のべきの成長を制御する。
• 基底環 $ R $ のイデアル $ I_i $ を導入し、$ f $-不変部分加群（$ i $ 個の元で生成されるもの）の annihilator を測定することで、自己準同型代数の構造を制御する。
• 補題2を適用して、単一の自己準同型 $ f $ が生成する代数 $ A $ の $ R $-加群長を、商 $ R/I_i $ の長さの和 $ \sum_{i=0}^{d-1} \ell(R/I_i) $ によって有界化する。
• 主イデアル整域上の有限長加群の分解を用いて、自己準同型代数の長さと加群の長さとの関係を確立する。
• アーティン環上の加群に対する部分単純分解技法を用いて、生成数と極小部分加群の大きさが制御された忠実部分加群および部分因子を構成する。
• 局所的にアーティン的加群とその極小部分加群に関する結果を応用し、ゲルステンハーバー型境界の最小反例における生成数と極小部分加群の長さの下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体上の2つの可換 $ n \times n $ 行列によって生成される代数の次元に関するゲルステンハーバーの境界は、可換局所アーティン環へ一般化可能か？
• RQ2 可換局所アーティン環上の忠実加群の最小可能長さは何か？ また、その長さは環の極小部分加群の長さとどのように関係するか？
• RQ3 体上の3つの可換 $ n \times n $ 行列によって生成される代数の次元には有限の境界があるか？ もしあるならば、それは何によって決定されるか？
• RQ4 アーティン環上の忠実加群は、有限生成で極小部分加群の大きさが小さい部分因子に置き換え可能か？ その条件は何か？
• RQ5 3つ以上の可換行列に対してゲルステンハーバー境界が成立しないことは、極小部分加群の長さや生成数といった加群論的不変量を用いて特徴付け可能か？

主な発見

• 可換PID $ R $ 上の有限長加群 $ M $ とその自己準同型 $ f $ に対して、$ f $ が生成する自己準同型代数 $ A $ の長さは、$ d $ を $ M $ の最小生成数として $ \sum_{i=0}^{d-1} \ell(R/I_i) $ によって有界である。
• 極小部分加群の長さが $ n $ である可換局所アーティン環 $ A $ に対して、任意の忠実 $ A $-加群 $ M $ は、$ \ell(M'/J(A)M') \leq n $ を満たす忠実部分加群 $ M' $ を持つ。ゆえに $ M' $ は高々 $ n $ 個の元で生成される。
• 任意の忠実 $ A $-加群 $ M $ は、$ \ell(\mathrm{socle}(M'')) \leq n $ を満たす忠実商 $ M'' $ を持つ。これは、ゲルステンハーバー型境界の最小反例の極小部分加群の長さが有界であることを示している。
• 境界 $ \ell(A) \leq \ell(M) $ が成立しない最小長の忠実 $ A $-加群 $ M $ は、高々 $ n $ 個の元で生成され、極小部分加群の長さが高々 $ n $ である。ここで $ n = \ell(\mathrm{socle}(A)) $ である。
• 生成数と極小部分加群の長さの両方が有界であるようなこのような部分因子の存在は、境界の反例が構造的にもサイズ的にも小さいことを示唆する。
• 結果は、イデアルフィルトレーションと加群生成に基づく洗練された議論により、ワッドソースのゲルステンハーバー定理の一般化を回復し、わずかに改善する。