[論文レビュー] Commuting ordinary differential operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients

O. I. Mokhov|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、チェビシェフ多項式 $T_r(x)$ を用いて、任意の genus $g > 0$ および任意の rank $r > 1$ の、多項式係数をもつ明示的で可換な常微分作用素を構成する。長年の存在問題を、$r = 6s \pm 1$ などの従来未知のケースを含め、$g > 0$ および $r > 1$ 全てに対して完全に解決する。この構成は、ランク2作用素に関するミロノフの結果に基づく新しい手法によってなされる。

ABSTRACT

In this paper we construct examples of commuting ordinary scalar differential operators with polynomial coefficients that are related to a spectral curve of an arbitrary genus g>0 and to an arbitrary rank r>1 of the vector bundle of common eigenfunctions of the commuting operators over the spectral curve. This solves completely the well-known existence problem for commuting operators of arbitrary genus and arbitrary rank with polynomial coefficients. The constructed commuting operators of arbitrary rank r>1 and arbitrary genus g>0 are given explicitly, they are generated by the Chebyshev polynomials T_r (x).

研究の動機と目的

• 任意の genus $g > 0$ および任意の rank $r > 1$ に対して、多項式係数をもつ可換な常微分作用素を構成するという未解決問題を解決すること。
• 従来の知られていた場合を超えて、特に $r = 6s \pm 1$（$s \geq 1$）という形のランクについて、これまで未解決であったケースを拡張して扱うこと。
• すべての $g > 0$ および $r > 1$ に対して、多項式係数をもつ可換な作用素ペア $L_{2r}$ と $M_{(2g+1)r}$ の明示的で閉形式の表現を提供すること。
• 高階作用素 $M_{(2g+1)r}$ の係数が、$L_{2r}$ の係数およびその微分の多項式関数として表せることを確立すること。

提案手法

• 作用素 $L_{2r}$ は、第一種チェビシェフ多項式 $T_r(x)$ を用いて、$\left(aT_r\left({d\over dx}\right) - x^2{d^2\over dx^2} - 3x{d\over dx} + x^2 + b\right)^2 - ar^2g(g+1)T_r\left({d\over dx}\right)$ という式で定義される。
• 第二の作用素 $M_{(2g+1)r}$ は、超楕円的関係 $M_{(2g+1)r}^2 = L_{2r}^{2g+1} + a_{2g}L_{2r}^{2g} + \cdots + a_0$ によって暗黙的に定義され、$a_i$ は定数である。
• バーチャンド・チャウンディ理論により、これらの作用素が可換であることが示され、可換な任意の作用素ペアは多項式スペクトル関係 $Q(L,M) = 0$ を満たすことが保証される。
• スペクトル曲線は、$\mu^2 = \lambda^{2g+1} + a_{2g}\lambda^{2g} + \cdots + a_0$ で定義される genus $g$ の超楕円曲線であり、共通固有関数 $\psi(x,\lambda,\mu)$ はそれに対して $r$ 次元のベクトル束をなす。
• 最近のアンドレイ・ミロノフによるランク2の自己随伴可換作用素と任意の genus に関する結果を、チェビシェフ多項式の構造を用いて任意のランクに拡張する。
• 最終的な形は、ウェイル代数の自己同型を用いて標準的正規形に変換され、作用素が先頭係数が1で、第二位の係数が0である通常の形に保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus $g > 0$ および rank $r > 1$ の組み合わせ、特に $r = 6s \pm 1$ のような従来除外されていたケースを含め、多項式係数をもつ可換な常微分作用素を構成できるか？
• RQ2 チェビシェフ多項式は、任意の genus および rank におけるこのような可換作用素の生成において、どのような構造的役割を果たすか？
• RQ3 高階作用素 $M_{(2g+1)r}$ の係数を、$L_{2r}$ の係数およびその微分の代数的関数としてどのように表現できるか？
• RQ4 すべての $r > 1$ および $g > 0$ に対して、このような作用素を標準的正規形で構成できるか？
• RQ5 可換ペアに関連する正確なスペクトル曲線は何か？ また、共通固有関数のベクトル束は、その幾何学的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、すべての $g > 0$ および $r > 1$ に対して、多項式係数をもつ明示的で可換な微分作用素 $L_{2r}$ と $M_{(2g+1)r}$（それぞれ次数 $2r$ および $(2g+1)r$）を構成し、存在問題を完全に解決する。
• 第一の作用素 $L_{2r}$ は、$\left(aT_r\left({d\over dx}\right) - x^2{d^2\over dx^2} - 3x{d\over dx} + x^2 + b\right)^2 - ar^2g(g+1)T_r\left({d\over dx}\right)$ で与えられ、ここで $T_r$ は第一種チェビシェフ多項式である。
• 第二の作用素 $M_{(2g+1)r}$ は、超楕円的関係 $M_{(2g+1)r}^2 = L_{2r}^{2g+1} + a_{2g}L_{2r}^{2g} + \cdots + a_0$ を満たし、$a_i$ は構成によって定まる定数である。
• $r > 3$ の場合、$a = 1/2^{r-1}$ とすると、作用素は標準的正規形となる。これにより、先頭係数が1で、第二位の係数が0となる。
• スペクトル曲線は、$\mu^2 = \lambda^{2g+1} + \cdots + a_0$ で定義される genus $g$ の超楕円曲線であり、共通固有関数 $\psi(x,\lambda,\mu)$ はそれに対して $r$ 次元のベクトル束をなす。
• 本構成により、$r = 6s \pm 1$（$s \geq 1$）の場合でさえも、このような作用素が存在することが確認され、$r = 4,5,6,7$ に対して対応する $L_{8}, L_{10}, L_{12}, L_{14}$ の明示的例が提供される。