[論文レビュー] Compact and discrete subgroups of algebraic quantum groups I

Magnus B. Landstad, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Feb 15, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、代数的量子群の枠組みの中で、群的射影とそれらに付随する ∗-部分代数に注目し、コンパクトな量子部分群を導入して研究する。左不変な ∗-部分代数が局所単位元を有し、コマルチプライケーションの右脚の不変性によって特徴づけられることを確立しており、非アーベルな量子群における双対性および構造論の基盤を提供する。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. Consider the C$^*$-algebra $C_0(G)$ of continuous complex functions on $G$, tending to 0 at infinity. The product in $G$ gives rise to a coproduct $Δ_G$ on the C$^*$-algebra $C_0(G)$. A locally compact {\it quantum} group is a pair $(A,Δ)$ of a C$^*$-algebra $A$ with a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain conditions. The definition guarantees that the pair $(C_0(G),Δ_G)$ is a locally compact quantum group and that conversely, every locally compact quantum group $(A,Δ)$ is of this form when the underlying C$^*$-algebra $A$ is abelian. Assume now that $G$ is a locally compact group with a compact open subgroup $K$. The algebra of complex functions on $G$ of {\it polynomial type} is a dense multiplier Hopf $^*$-algebra with positive integrals (i.e. an algebraic quantum group}. The characteristic function of $K$ is a group-like projection in this algebraic quantum group. In this paper, we study group-like projections in an arbitrary algebraic quantum group. We find several associated objects that generalize the classical objects associated to a compact open subgroup of a locally compact group.

研究の動機と目的

• 群的射影を用いて代数的量子群内におけるコンパクトな量子部分群を特徴付けること。
• 正の積分を伴う正則なマルチプライヤーホップ ∗-代数における左不変な ∗-部分代数の定義と分析を行うこと。
• 非自明な左不変な ∗-部分代数に局所単位元が存在することを確立し、単位元の性質とマルチプライヤー代数への埋め込みを保証すること。
• コマルチプライケーションの右脚と不変性条件の関係を明確にし、代数的構造と量子群の双対性を結びつけること。
• 将来の研究の基盤を築くこと、特に完全に非連結な量子群および局所コンパクト量子群への一般化を想定すること。

提案手法

• 代数的量子群をモデル化するために、正の右積分を伴う正則なマルチプライヤーホップ ∗-代数の概念を用いる。
• 左不変な ∗-部分代数 C を、Δ(C) の右脚が C に含まれる、すなわちコマルチプライケーションに関して不変であるようなものとして定義する。
• 右不変な積分 ψ を用いて、任意の有限集合 {a_i} ⊂ A に対して a_i e = a_i を満たす局所単位元 e ∈ C を構成する。
• Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C) であることを示し、ψ の非退化性を用いて、xC ⊆ C を満たす要素 x が C に属することを示す。
• Δ(a) の右脚を、すべての b ∈ B に対して ⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C を満たす最小の部分空間 C として特徴づける。
• 局所単位元の存在により A が C-両側加群であることを示し、M(C) が M(A) に単射的に埋め込まれることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的量子群内におけるコンパクトな量子部分群を特徴付ける条件は何ですか？
• RQ2 正則なマルチプライヤーホップ ∗-代数の文脈において、左不変な ∗-部分代数はどのように定義され、特徴づけられるでしょうか？
• RQ3 コマルチプライケーションの右脚が不変性および代数的構造を決定する上で果たす役割は何ですか？
• RQ4 左不変部分代数における局所単位元が、単位元の性質およびマルチプライヤー代数との整合性をどのように保証するのでしょうか？
• RQ5 これらの構成は、完全に非連結な局所コンパクト量子群の理論にどのように一般化されるでしょうか？

主な発見

• 正則なマルチプライヤーホップ ∗-代数における非自明な左不変な ∗-部分代数 C は非退化した積を持ち、AC = A = CA を満たす。
• Δ(C) の右脚が C に含まれるための必要十分条件は、Δ(C) ⊆ M(A ⊗ C) かつ C が局所単位元を持つことである。
• 任意の A 内の有限集合 {a_i} に対して、a_i e = a_i を満たす e ∈ C が存在することを示し、C 内に局所単位元が存在することを証明する。
• Δ(a) の右脚は、すべての b が稠密部分空間 B に属するとき、⟨a_{(1)}, b⟩ a_{(2)} ∈ C を満たす最小の部分空間 C である。
• 局所単位元の存在により、M(C) が M(A) に単射的に埋め込まれ、A が C-両側加群であることが保証される。
• 線形汎関数による右脚の特徴づけと ψ の非退化性を用いることで、代数的不変性とコマルチプライケーションに基づく不変性条件の同値性が確立される。