[論文レビュー] Compact composition operators on weighted Hilbert spaces of analytic functions

Karim Kellay, Pascal Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、重み付き再生核ヒルベルト空間における合成作用素のコンパクト性を、一般化されたネヴァンリンナ数え上げ関数を用いて特徴づける。合成作用素 $ C_\varphi $ が $ \mathcal{H}_\omega $ 上でコンパクトであるための必要十分条件は、$ \lim_{|z|\to 1^-} \frac{N_{\varphi,\omega}(z)}{\omega(z)} = 0 $ であることが示され、これはハーディー空間およびベルグマン空間に対する既知の結果を、ディリクレ空間とベルグマン空間の間の広範な中間空間へと拡張する。

ABSTRACT

We characterize the compactness of composition operators; in term of generalized Nevanlinna counting functions, on a large class of Hilbert spaces of analytic functions, which can be viewed between the Bergman and the Dirichlet spaces

研究の動機と目的

• 単位円板上での正則関数の重み付きヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_\omega $ 上における合成作用素 $ C_\varphi $ のコンパクト性を特徴づけること。
• ハーディー空間やベルグマン空間といった古典的空間に対する既知のコンパクト性基準を、ディリクレ空間とベルグマン空間の間の広範な重み付きヒルベルト空間のクラスへと拡張すること。
• 重み $ \omega $ と $ \varphi $ の引き戻しを用いて定義される一般化されたネヴァンリンナ数え上げ関数 $ N_{\varphi,\omega}(z) $ を用いて、コンパクト性の必要十分条件を確立すること。
• 2種類の適切な重み（I-適切および II-適切）の下で、$ C_\varphi $ の性質を分析すること：(I) は $ H^2 $ とベルグマン空間の間を補間するものであり、(II) はディリクレ空間と $ H^2 $ の間を補間するものである。

提案手法

• 重み $ \omega $ を非増加的で適切な重み関数とするとき、$ \mathcal{H}_\omega $ を、$ \|f\|_{\mathcal{H}_\omega}^2 = |f(0)|^2 + \int_{\mathbb{D}} |f'(z)|^2 \omega(z) \, dA(z) < \infty $ を満たす、$ \mathbb{D} $ 上の正則関数 $ f $ の空間として定義する。
• 一般化されたネヴァンリンナ数え上げ関数 $ N_{\varphi,\omega}(z) = \sum_{\varphi(a)=z} \omega(a) $ を導入し、これは $ z $ の前像を $ \omega $ で重み付けして数えるもので、コンパクト性基準において中心的な役割を果たす。
• $ \mathcal{H}_\omega $ 上での $ C_\varphi $ の有界性を、(I)-適切な重みに対してリトルウッドの劣微分原理を用いて、(II)-適切な重みに対しては条件 $ \sup_z \frac{N_{\varphi,\omega}(z)}{\omega(z)} < \infty $ を用いて確立する。
• $ C_\varphi $ が $ \mathcal{H}_\omega $ 上でコンパクトであるための必要十分条件が、$ \lim_{|z|\to 1^-} \frac{N_{\varphi,\omega}(z)}{\omega(z)} = 0 $ であることを証明する。これは、$ H^2 $ および $ \mathcal{A}_\alpha^2 $ に対する既知の結果を一般化する。
• II-適切な重みに対しては、非径直的アプローチ領域における最大平均を用いた別表現を与える：$ \lim_{\delta \to 0} \sup_{\zeta \in \mathbb{T}} \frac{1}{\delta^2 \omega(1-\delta)} \int_{|z-\zeta|<\delta} N_{\varphi,\omega}(z) \, dA(z) = 0 $。
• ブラッシュケ積と $ G(t) = \tilde{G}^{-1}(C\sqrt{\tilde{G}(t)}) $ における漸近的推定を用いて、$ \mathcal{A}_\sigma^2 $ 上でコンパクトであるが $ H^2 $ 上ではコンパクトでないような例を構成し、条件の鋭さを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な重み $ \omega $ を持つ重み付きヒルベルト空間 $ \mathcal{H}_\omega $ 上での合成作用素 $ C_\varphi $ のコンパクト性の必要十分条件は何か？
• RQ2 一般化されたネヴァンリンナ数え上げ関数 $ N_{\varphi,\omega}(z) $ は $ C_\varphi $ のコンパクト性とどのように関係するか？ また、異なる重みクラスにわたって一様に表現できるか？
• RQ3 $ C_\varphi $ のコンパクト性基準を、古典的ディリクレ空間とベルグマン空間の間の空間へと拡張できるか？
• RQ4 ある関数 $ \varphi $ が存在して、$ C_\varphi $ が重み付きベルグマン空間上ではコンパクトだが $ H^2 $ 上ではコンパクトでないような場合があるか？ これはコンパクト性条件の鋭さについて何を示唆するか？
• RQ5 2種類の異なる適切な重み（I-適切および II-適切）は、$ C_\varphi $ の有界性およびコンパクト性の特徴づけをどのように異なる形で導くか？

主な発見

• 合成作用素 $ C_\varphi $ が $ \mathcal{H}_\omega $ 上でコンパクトであるための必要十分条件は、$ \lim_{|z|\to 1^-} \frac{N_{\varphi,\omega}(z)}{\omega(z)} = 0 $ である。ここで $ N_{\varphi,\omega}(z) $ は一般化されたネヴァンリンナ数え上げ関数である。
• II-適切な重みに対しては、コンパクト性は最大平均の消失と同値である：$ \lim_{\delta \to 0} \sup_{\zeta \in \mathbb{T}} \frac{1}{\delta^2 \omega(1-\delta)} \int_{|z-\zeta|<\delta} N_{\varphi,\omega}(z) \, dA(z) = 0 $。
• $ |z| \to 1^- $ のとき $ \frac{N_{\varphi,\omega}(z)}{\omega(z)} \to 0 $ であることは、$ C_\varphi $ の有界性を意味し、これはコンパクト性の極限的状況を表す。
• あるブラッシュケ積 $ \varphi $ が存在し、$ C_\varphi $ は $ \mathcal{A}_\sigma^2(\mathbb{D}) $ 上でコンパクトであるが $ H^2 $ 上ではコンパクトでない。これは、ベルグマン空間上でのコンパクト性がハーディー空間上でのコンパクト性を意味しないことを示している。
• $ \frac{G(z)}{G(\varphi(z))} = o\left( \frac{1-|z|}{1-|\varphi(z)|} \right) $ であることは、$ \mathcal{A}_\sigma^2 $ 上でのコンパクト性を意味するが、これは $ \frac{G(z)}{G(\varphi(z))} \to 0 $ よりも厳密に弱い条件であり、したがって同値でないことが示される。
• この結果は、Zorboska による古典的ディリクレ空間上でのコンパクト性の特徴づけを、すべての II-適切な重みへと一般化し、この空間スケールにおけるコンパクト性の統一的枠組みを提供する。