[論文レビュー] Compact embeddings of model subspaces of the Hardy space

Anton Baranov|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Hardy空間 $H^p$ のモデル部分空間 $K^p_\Theta$ が $L^p(\mu)$ にコンパクト埋め込みであるための基準を確立し、有界埋め込みの Volberg–Treil の定理を一般化する。主な結果は、測度 $\mu$ に対するコンパクト性の必要十分条件を、Bernstein 不等式と内挙動関数 $\Theta$ の幾何的解析を用いて提示し、Cima と Matheson が提起したコンパクト埋め込みに関する問いを解決する。

ABSTRACT

We study embeddings of model (star-invariant) subspaces $K^p_Θ$ of the Hardy space $H^p$, associated with an inner function $Θ$. We obtain a criterion for the compactness of the embedding of $K^p_Θ$ into $L^p(μ)$ analogous to the Volberg--Treil theorem on bounded embeddings and answer a question posed by Cima and Matheson. The proof is based on Bernstein inequalities for functions in $K^p_Θ$. Also we study measures $μ$ such that the embedding operator belongs to a Schatten--von Neumann ideal.

研究の動機と目的

• 与えられた内挙動関数 $\Theta$ に対して、$K^p_\Theta \subset L^p(\mu)$ がコンパクトであるような測度 $\mu$ を特徴付けること。これは、有界埋め込みの Volberg–Treil の定理をコンパクト埋め込みへ拡張することを目的とする。
• Cima と Matheson が提起したモデル部分空間のコンパクト埋め込みに関する問いを解決すること。
• Carleson 型条件を介して、内挙動関数 $\Theta$ の幾何と $\mu$ の可積分性の性質との間の関係を確立すること。
• 特に $r \geq 1$ の場合に、埋め込み作用素の Schatten–von Neumann 級への属する条件を分析すること。
• dyadic 分解、レベル集合の幾何、および $K^p_\Theta$ 内のカーネル推定を組み合わせることで、コンパクト性に対する鋭い基準を確立すること。

提案手法

• 証明は、$K^p_\Theta$ に属する関数に対する Bernstein 型不等式に依拠し、関数のノルムによって導関数の成長を制御する。
• 単位円板を dyadic 正方形 $R_{n,m}$ に dyadic 分解し、それらがレベル集合 $\Omega(\Theta,\varepsilon) = \{z \in \mathbb{D} : |\Theta(z)| < \varepsilon\}$ からの距離を解析する。
• 距離が正方形のサイズと同程度である正方形の族 $\mathcal{R}(\varepsilon, A)$ を定義し、幾何的近接性と測度の減衰を結びつける。
• 埋め込み作用素のコンパクト性は、Schatten–von Neumann 理想 $\mathcal{S}_r$ を用いて分析され、Luecking の定理により、関連する正方形上での $\mu(R_{n,m})$ の和の収束性と関連付ける。
• 再生核 $k_z$ を用いた主要な推定が行われ、$z \in S(I_n)$ のとき $k_z(z) \asymp |I_n|^{-1}$ であり、$w_n \in S(I_n)$ のとき $\|k_{w_n}\|_2^2 \asymp |I_n|^{-1}$ である。
• 条件の必要性は、Parfenov の定理と、$L^2$ ノルムが制御され、点별で下界を持つテスト関数 $k_{w_n}$ の構成により示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた単位円板 $\overline{\mathbb{D}}$ 上の Borel 測度 $\mu$ に対して、与えられた内挙動関数 $\Theta$ に対して埋め込み $K^p_\Theta \subset L^p(\mu)$ がコンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 レベル集合 $\Omega(\Theta,\varepsilon)$ の幾何的性質は、埋め込み作用素のコンパクト性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 有界埋め込みのための Volberg–Treil の基準をコンパクトの場合に拡張できるか。もしそうなら、どのような精密な条件下で成立するか？
• RQ4 埋め込み作用素の Schatten–von Neumann 級への属する条件と、$\Theta$ のスペクトルに近接する dyadic 正方形における $\mu$ の減衰との正確な関係は何か？
• RQ5 コンパクト性基準は、特に $\Theta$ が $CLS$ 級に属さない場合に、指数 $p$ に依存するか？

主な発見

• 埋め込み $K^p_\Theta \subset L^p(\mu)$ がコンパクトであるための必要十分条件は、$\mu$ が次の二条件を満たすことである：(1) すべての $n$ に対して $\mu(S(I_n)) \lesssim |I_n|$、(2) $\sum_n \left( \mu(S(I_n)) / |I_n| \right)^{r/2} < \infty$。ここで $\{I_n\}$ は $\text{dist}(I_n, \sigma(\Theta)) \geq |I_n|$ を満たす最大の弧の族である。
• $\Theta \in \text{CLS}$ の場合、コンパクト性基準は消える Carleson 型条件に簡略化されるが、一般の $\Theta$ の場合、条件は dyadic 分解およびレベル集合 $\Omega(\Theta,\varepsilon)$ からの距離に依存する。
• 再生核 $k_z$ は、$z \in S(I_n)$ のとき $k_z(z) \asymp |I_n|^{-1}$ を満たし、$w_n \in S(I_n)$ のとき $\|k_{w_n}\|_2^2 \asymp |I_n|^{-1}$ である。これはノルム推定において本質的である。
• 埋め込み作用素が Schatten–von Neumann 級 $\mathcal{S}_r$ に属するための必要十分条件は、$\sum_{R_{n,m} \cap G \neq \emptyset} (2^n \mu(R_{n,m}))^{r/2} < \infty$ である。ここで $G = \mathbb{D} \setminus \bigcup_n S(I_n)$ である。
• $\sum_n (\mu(S(I_n)) / |I_n|)^{r/2} < \infty$ の必要性は、Parfenov の定理を用い、$L^2$ ノルムが制御され、点別で下界を持つテスト関数 $k_{w_n}$ の構成により確立された。
• 結果は、Parfenov の Paley–Wiener 空間に関する定理を一般化し、上半平面における $\mu([n,n+1])$ の和の収束性が、円板における $\mu(S(I_n))$ の減衰に対応することを示している。