[論文レビュー] Compact Finite Difference Scheme with Hermite Interpolation for Pricing American Put Options Based on Regime Switching Model

Chinonso Nwankwo, Weizhong Dai+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 52被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、レジームスイッチングモデル下でのアメジリアン・プット・オプションの自由境界問題を解くために、ヘルミート補間を用いたコン pact な有限差分スキームを提案する。自由境界を固定区間に変換し、アセット・デルタ・ギャンマ・スピード方程式を導出することで、高次精度と高速計算を実現し、既存の数値的手法に比べて効率性と精度で優れている。

ABSTRACT

We consider a system of coupled free boundary problems for pricing American put options with regime-switching. To solve this system, we first employ the logarithmic transformation to map the free boundary for each regime to multi-fixed intervals and then eliminate the first-order derivative in the transformed model by taking derivatives to obtain a system of partial differential equations which we call the asset-delta-gamma-speed equations. As such, the fourth-order compact finite difference scheme can be used for solving this system. The influence of other asset, delta, gamma, and speed options in the present regime is estimated based on Hermite interpolations. Finally, the numerical method is tested with several examples. Our results show that the scheme provides an accurate solution that is fast in computation as compared with other existing numerical methods.

研究の動機と目的

• レジームスイッチング動的下でのアメジリアン・プット・オプションの価格設定における計算的課題に取り組むこと。これは、複数の自由境界と結合された偏微分方程式を含む。
• 変換モデルにおける1階微分項を微分によって除去することで、4次精度のコンパクト有限差分スキームの適用を可能にする。
• 他のオプション・グリークス（デルタ、ギャンマ、スピード）の影響を推定するためにヘルミート補間を組み込むことで、数値的効率と精度を向上させる。
• 既存のスキームに比べて優れた性能を示す、安定的かつ高速な数値的手法を開発すること。

提案手法

• 各レジームの自由境界を固定区間に写像するため、対数変換を適用し、境界条件の取り扱いを簡素化する。
• 変換モデルを微分することで1階微分項を除去し、アセット・デルタ・ギャンマ・スピード方程式と呼ばれる偏微分方程式系を導出する。
• 高次空間精度を達成するため、4次精度のコンパクト有限差分スキームを採用して、得られた方程式系を解く。
• ヘルミート補間を用いて、アセット、デルタ、ギャンマ、スピードの各位置がレジーム間で与える影響を推定し、レジーム遷移にわたる滑らかで正確な補間を実現する。
• 計算されたオプション価格に基づいて早期行使境界を更新しながら、反復的に方程式系を解く数値アルゴリズムを構築する。
• 収束性、安定性、計算速度を確認するため、複数のテストケースを用いてスキームを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レジームスイッチング下でのアメジリアン・プット・オプションの自由境界問題を、高次精度有限差分スキームに適した固定境界PDE系にどのように変換できるか？
• RQ2 ヘルミート補間を導入することで、マルチレジームオプション価格設定文脈における数値解の精度と安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 レジームスイッチングモデルから導出されたアセット・デルタ・ギャンマ・スピード方程式に、4次精度のコンパクト有限差分スキームを効果的に適用できるか？
• RQ4 本手法は、レジームスイッチング下でのアメジリアン・オプションに対する既存の数値手法と比較して、計算速度と精度で優れているか？
• RQ5 モデルパラメータやボラティリティ・レジームの変化に対して、本スキームの収束性とロバスト性はどのように振る舞うか？

主な発見

• 提案されたヘルミート補間を用いたコンパクト有限差分スキームは、4次空間精度を達成し、低次の手法に比べて解の精度を顕著に向上させる。
• 本手法は計算時間が短く、既存の数値スキームに比べて計算効率で優れている。
• ヘルミート補間は、デルタ、ギャンマ、スピードのレジーム間依存性を効果的に捉え、レジーム遷移にわたる数値解の精度を向上させる。
• 数値実験により、異なるボラティリティ・レジームやストライク・プライスを含む多様なパrameter設定下でも、本スキームの安定性と収束性が確認された。
• 変換と微分のアプローチにより、1階微分項が効果的に除去され、高次精度コンパクトスキームの適用が可能になった。
• 本手法は、レジームスイッチング環境下でのアメジリアン・オプション評価において、正確な早期行使境界の検出を可能にする。