[論文レビュー] Compact Group Automorphisms, Addition Formulas and Fuglede-Kadison Determinants

Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 81被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、可算なアーベル群 Γ と、群 von Neumann 代数で可逆な f に対して、商群環 ℤΓ/ℤΓf のポントリャーギン双対上のシフト作用の位相的エントロピーが、f のフューグレデ・カダソン行列式の対数に等しいことを確立する。証明は、ボーワンのエントロピー定義の ℓp バージョン、群拡大における加法公式、および f の圧縮による行列式の近似公式に依拠する。

ABSTRACT

For a countable amenable group Γand an element f in the integral group ring ZΓbeing invertible in the group von Neumann algebra of Γ, we show that the entropy of the shift action of Γon the Pontryagin dual of the quotient of ZΓby its left ideal generated by f is the logarithm of the Fuglede-Kadison determinant of f. For the proof, we establish an \ell^p-version of Rufus Bowen's definition of topological entropy, addition formulas for group extensions of countable amenable group actions, and an approximation formula for the Fuglede-Kadison determinant of f in terms of the determinants of perturbations of the compressions of f.

研究の動機と目的

• 可算なアーベル群のコンパクトな距離化可能な群への自己同型作用による位相的エントロピーを計算すること。
• ℤ および ℤd-作用に対して既知のエントロピー公式を、一般の可算なアーベル群へ拡張すること。
• 群 von Neumann 代数内の可逆な元 f に対して、エントロピーとフューグレデ・カダソン行列式を結びつける一般公式を確立すること。
• これまでの例がほとんど知られていない非アーベル群作用におけるエントロピーの計算のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 可算なアーベル群作用におけるルーファス・ボーワンの位相的エントロピー定義の ℓp バージョンを導入する。
• 可算なアーベル群作用の群拡大における位相的エントロピーの加法公式を構築する。
• f の有限部分集合への圧縮の行列式を用いたフューグレデ・カダソン行列式の近似公式を構築する。
• 群環 ℤΓ とそのポントリャーギン双対の双対性を用いて、コンパクトなアーベル群上の作用 αf を定義する。
• 群 von Neumann 代数 LΓ 上のトレース状態を用いて、フューグレデ・カダソン行列式を定義する。
• 作用 αf について、位相的エントロピーと測度論的エントロピーが等価であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の可算なアーベル群に対して、ℤΓ/ℤΓf のポントリャーギン双対上のシフト作用のエントロピーは、f のフューグレデ・カダソン行列式の対数に等しいか？
• RQ2 f の有限圧縮の行列式を用いて、フューグレデ・カダソン行列式を近似できるか？
• RQ3 可算なアーベル群作用の群拡大におけるエントロピーはどのように振る舞い、加法公式を導出できるか？
• RQ4 f が ℓ1(Γ) で可逆でないが、群 von Neumann 代数では可逆である場合でも、エントロピーの公式は成立するか？

主な発見

• Xf 上の作用 αf の位相的エントロピーは、f のフューグレデ・カダソン行列式の対数に等しい。
• エントロピーが有限であることは、f が群 von Neumann 代数 LΓ で可逆であることと同値である。
• f のフューグレデ・カダソン行列式は、Γ の有限部分集合への f の圧縮の対数行列式によって近似可能である。
• 群拡大におけるエントロピーの加法公式により、全系のエントロピーを部分群上の成分に分解できる。
• 本結果は、エントロピーが f のマーラー測度に等しいことが知られている ℤ および ℤd-作用の公式を一般化する。
• 証明は、対称的 ℓ1(Γ) や残差有限性を持つ群に限らず、すべての可算なアーベル群に対して成り立つ。