[論文レビュー] Compact groups all elements of which are almost right Engel

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の元がほぼ右エンゲル的である（繰り返しの右交換子が有限集合に到達する）コンパクトハウスドルフ群において、商が局所冪零であるような、有限正規部分群が存在することを証明している。主な貢献は、このようなコンパクト群の構造的分類であり、以前のほぼ左エンゲル元に関する結果を拡張し、エンゲル沈殿が一様に有界である場合の定量的境界を確立している。

ABSTRACT

We say that an element $g$ of a group $G$ is almost right Engel if there is a finite set ${\mathscr R}(g)$ such that for every $x\in G$ all sufficiently long commutators $[...[[g,x],x],\dots ,x]$ belong to ${\mathscr R}(g)$, that is, for every $x\in G$ there is a positive integer $n(x,g)$ such that $[...[[g,x],x],\dots ,x]\in {\mathscr R}(g)$ if $x$ is repeated at least $n(x,g)$ times. Thus, $g$ is a right Engel element precisely when we can choose ${\mathscr R}(g)=\{ 1\}$. We prove that if all elements of a compact (Hausdorff) group $G$ are almost right Engel, then $G$ has a finite normal subgroup $N$ such that $G/N$ is locally nilpotent. If in addition there is a uniform bound $|{\mathscr R}(g)|\leq m$ for the orders of the corresponding sets, then the subgroup $N$ can be chosen of order bounded in terms of $m$. The proofs use the Wilson--Zelmanov theorem saying that Engel profinite groups are locally nilpotent and previous results of the authors about compact groups all elements of which are almost left Engel.

研究の動機と目的

• すべての元がほぼ右エンゲル的であるコンパクト群を分類すること。これは、以前のほぼ左エンゲル元に関する結果を一般化する。
• すべての元がほぼ右エンゲル的であるという条件下で、商が局所冪零であるような有限正規部分群の存在を確立すること。
• 右エンゲル沈殿のサイズがすべての群元で一様に有界である場合、その有限正規部分群の位数に定量的境界を与えること。

提案手法

• プロファイントエンゲル群が局所冪零であるというウィルソン＝ゼルマンォフの定理を、基礎的な道具として用いる。
• 逆極限構造とプロファイント群論を用いて、問題を有限群に還元する。
• コンパクト群の構造定理を応用し、プロファイント群から一般のコンパクト群への結果の拡張を行う。
• 最小エンゲル沈殿とその共軛性の性質を活用して、有限商群上の群作用を制御する。
• マシュケの定理と $p$-群の性質を用いて、商群上の自己同型作用を分析する。
• 逆極限の議論を用いて、有限群の結果をコンパクト群の文脈へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての元がほぼ右エンゲル的であるコンパクト群は、必ず商が局所冪零となるような有限正規部分群をもつのか？
• RQ2 右エンゲル沈殿のサイズが一様に有界である場合、その有限正規部分群の位数は、その最大サイズの関数として有界にできるか？
• RQ3 コンパクト群において、ほぼ右エンゲル元とほぼ左エンゲル元の間に構造的関係があるか。もし存在するならば、それは何を意味するか？
• RQ4 有限群におけるエンゲル沈殿の性質は、プロファイント群およびコンパクト群へどのように拡張できるか？
• RQ5 $p$-群とフラティーニ商は、この文脈において、有限商群上の元の作用を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• すべての元がほぼ右エンゲル的であるコンパクト群 $G$ に対して、商 $G/N$ が局所冪零となるような有限正規部分群 $N$ が存在する。
• すべての $g \in G$ に対して右エンゲル沈殿 ${\mathscr{R}}(g)$ のサイズが $m$ で一様に有界であるとき、有限正規部分群 $N$ は $m$ に依存する有界な位数で選べる。
• この結果により、このようなコンパクト群は、有限部、局所冪零群に分類可能であることが示され、ほぼ左エンゲル元から知られていた有限部、冪零群構造を拡張する。
• このような群のすべての元は、有限な左エンゲル沈殿を持つため、著者らの以前のほぼ左エンゲル元に関する結果の条件も満たす。
• 証明では逆極限技法とコンパクト群の構造定理が用いられ、問題が有限群およびプロファイント群に還元される。
• すべての有限生成部分群 $H$ の冪零残差 $\gamma_\infty(H)$ は、$|{\mathscr{R}}(g)| \leq m$ が一様に成り立つとき、$m$-有界な位数をもつ。