[論文レビュー] Compact Hyperkaehler Manifolds: Basic Results

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|May 28, 1997

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、K3表面からの基礎的結果を、より高次元のコンpactで非分解なハイパーケーラー多様体へ一般化し、そのモジュライ、コホロロジー、および双有理幾何に関する重要な性質を確立する。周期写像が周期領域へ全射であることを証明し、双有理的非分解シンプレクティック多様体が変形同値であることを示し、Burns-Rapoportの「メイン補題」を高次元へ拡張する。

ABSTRACT

The paper generalizes some of the well-known results for K3 surfaces to higher-dimensional irreducible symplectic (or, equivalently, compact irreducible hyperkaehler) manifolds. In particular, we discuss the projectivity of such manifolds and their ample resp. Kaehler cones. It is proved that the period map surjects any non-empty connected component of the moduli space of marked manifolds onto the corresponding period domain. We also establish an anlogue of the transitivity of the Weyl-action on the set of chambers of a K3 surface. As a converse of a higher-dimensional version of the `Main Lemma' of Burns and Rapoport we prove that two birational irreducible symplectic manifolds are deformation equivalent. This compares nicely with a result of Batyrev and Kontsevich.

研究の動機と目的

• K3表面に関する古典的結果を、より高次元のコンパクトで非分解なハイパーケーラー多様体へ拡張すること。
• 高次元ハイパーケーラー幾何における、アメイプル錐とケーラー錐の構造を分析すること。
• マーク付き多様体のモジュライ空間の連結成分ごとに、周期写像が対応する周期領域へ全射であることを確立すること。
• 双有理的非分解シンプレクティック多様体が変形同値であることを証明し、Burns-Rapoportのメイン補題を高次元へ一般化すること。
• ハイパーケーラー多様体のモジュライおよび双有理幾何の研究のための基礎的ツールを提供すること。

提案手法

• ハイパーケーラー多様体の複素構造とホッジ構造との関係を、周期写像を用いて関係づける。
• マーク付き多様体およびそのモジュライ空間の理論を用いて、変形型を分析する。
• ケーラー錐内のチャネルにおけるワイル群の作用を、K3表面の場合へ一般化する。
• モノドロミー群とグローバルTorelli定理を用いて、周期写像の全射性を研究する。
• 高次元版のBurns-Rapoport「メイン補題」を適用し、双有理性と変形同値性の関係を関係づける。
• 第二コホモロジーにおけるコホモロジーと交差形式を分析し、特徴づけと錐構造を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付きハイパーケーラー多様体のモジュライ空間の各連結成分から、対応する周期領域への周期写像は全射か？
• RQ2 高次元非分解シンプレクティック多様体におけるアメイプル錐とケーラー錐はどのように振る舞い、K3表面の場合と類似した形で記述可能か？
• RQ3 ケーラー錐内のチャネルにおけるワイル群作用の推移性は、高次元ハイパーケーラー多様体へ一般化可能か？
• RQ4 二つの双有理的非分解シンプレクティック多様体は、高次元において必ず変形同値か？
• RQ5 コンパクトハイパーケーラー多様体の双有理幾何と変形理論の間の正確な関係は何か？

主な発見

• マーク付きハイパーケーラー多様体のモジュライ空間の任意の非空連結成分から、対応する周期領域への周期写像は全射である。
• 高次元ハイパーケーラー多様体において、ケーラー錐内のチャネルにおけるワイル群作用は推移的であり、K3の場合の一般化である。
• 二つの双有理的非分解シンプレクティック多様体は変形同値であり、高次元版のBurns-Rapoport「メイン補題」の逆を示している。
• コンパクト非分解ハイパーケーラー多様体のアメイプル錐とケーラー錐は、周期領域とモノドロミー不変格子構造を用いて記述される。
• コンパクトハイパーケーラー多様体の正則性は、第二コホモロジー内にケーラークラスが存在することによって特徴づけられ、K3の場合へ拡張される。
• コンパクト非分解ハイパーケーラー多様体の変形型は、ホッジ構造とモノドロミー群によって決定され、グローバルTorelli定理を支持する。