[論文レビュー] Compact operators on spaces with asymmetric norm

Ştefan Cobzaş|ArXiv.org|Aug 1, 2006

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は非対称ノルム空間におけるコンパクト作用素の概念を導入し、双対（共役）作用素を定義し、シュードァーのコンパクト性定理の非対称版を確立する。コンパクト作用素が存在する場合、元の空間の非対称ノルムによって誘導される準均一構造の下で、その双対作用素が双対単位球を前コンパクト集合に写すことを証明する。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to define compact operators on asymmetric normed spaces and to study some of their properties. The dual of a bounded linear operator is defined and a Schauder type theorem is proved within this framework. The paper contains also a short discussion on various completeness notions for quasi-metric and for quasi-uniform spaces.

研究の動機と目的

• 非対称ノルム空間において、ノルムの対称性が欠如する文脈でコンパクト作用素を定義すること。
• 双対空間上に共役作用素 $ A^\flat $ を導入することで、有界線形作用素に対する双対理論を確立すること。
• 古典的なシュードァーのコンパクト性定理を非対称設定に拡張し、$ A^\flat $ による双対単位球の像の前コンパクト性を証明すること。
• 非対称位相的構造における準均一性、完備性、コンパクト性の相互作用を分析すること。
• 非対称空間における前コンパクト性、総有界性、完備性の違いを明確にすること。これは対称の場合とは顕著に異なる。

提案手法

• 正の性質、斉一次性、劣加法性を満たすが対称性を満たさない関数 $ p: X \to [0,\infty) $ を用いて非対称ノルム空間 $ (X,p) $ を定義する。
• 関連する準距離 $ \rho(x,y) = p(y - x) $ を導入し、位相 $ \tau_p $ と準均一構造 $ \mathcal{U}_p $ を生成する。
• 不等式 $ q(Ax) \leq \|A\| p(x) $ を用いて、有界（半リプシッツ）線形作用素 $ A: X \to Y $ を定義し、$ \|A\| $ を半リプシッツノルムとする。
• $ p $-有界線形汎関数の双対空間上に共役作用素 $ A^\flat: Y^\flat \to X^\flat $ を定義し、$ A^\flat(\varphi)(x) = \varphi(Ax) $ とおく。
• 双対空間 $ X^\flat $ に $ w^\flat $-位相と、$ \epsilon $-近傍 $ U_\epsilon = \{ (\varphi_1,\varphi_2) : \varphi_2(x) - \varphi_1(x) \leq \epsilon \; \forall x \in B_p \} $ を用いて生成される準均一構造 $ \mathcal{U}_p^\flat $ を導入する。
• 作用素 $ A^\flat $ が $ \mathcal{U}_p^\flat $ と $ \mathcal{U}_q^\flat $ の下で準均一連続であることを証明し、アラオグル＝ブルバキの定理を用いて双対単位球 $ B_q^\flat $ の $ w^\flat $-コンパクト性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルムの対称性が欠如する非対称ノルム空間において、コンパクト作用素の概念をどのように意味的に拡張できるか。
• RQ2 非対称設定における適切な双対（共役）作用素 $ A^\flat $ の定義は何か。また、元の作用素 $ A $ とどのように関係しているか。
• RQ3 非対称シュードァー定理は成り立つか。すなわち、$ A(B_p) $ が前コンパクトであると仮定した場合、誘導された準均一構造の下で $ A^\flat(B_q^\flat) $ も前コンパクトになるか。
• RQ4 非対称空間では、完備性、総有界性、前コンパクト性の概念が対称ノルム空間とはどのように異なるか。
• RQ5 双対空間における連続性とコンパクト性を保証するために、どのような位相的・均一的構造（例：$ w^\flat $-位相、$ \mathcal{U}_p^\flat $）が必要か。

主な発見

• 本稿では、$ Y $ 内の準均一構造 $ \mathcal{U}_q $ における $ A(B_p) $ の前コンパクト性に依存せず、対称的コンパクト性の概念に依存しない $ (p,q) $-コンパクト作用素を定義する。
• 共役作用素 $ A^\flat $ は、準均一構造 $ \mathcal{U}_p^\flat $ と $ \mathcal{U}_q^\flat $ の下で準均一連続であることが示され、位相的一致性が保証される。
• 双対空間における $ w^\flat $-コンパクト単位球 $ B_q^\flat $ が、$ \mathcal{U}_p^\flat $ の下で $ X^\flat $ 内の前コンパクト集合に写されることが証明され、非対称シュードァー定理が成立する。
• 証明は、アラオグル＝ブルバキの定理による $ B_q^\flat $ の $ w^\flat $-コンパクト性と、$ A(B_p) $ 上の有限個の評価汎関数を用いた有限 $ \epsilon $-ネットの構成に依存する。
• 重要な不等式 $ \psi(Ax) - \psi_k(Ax) \leq 3\epsilon $ がすべての $ x \in B_p $ に対して成り立つことから、$ A^\flat(B_q^\flat) \subset U_{3\epsilon}[\{A^\flat\psi_1, \dots, A^\flat\psi_m\}] $ が得られ、前コンパクト性が確認される。
• 本稿は、非対称空間において前コンパクト性と相対的コンパクト性が同値でないことを強調し、対称性の欠如が完備性と総有界性の関係を複雑にする点を指摘している。