[論文レビュー] Compact polyhedral surfaces of an arbitrary genus and determinants of Laplacians

Alexey Kokotov|ArXiv.org|Jun 3, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意の genus を持つコンパクトな多面体的曲面上のラプラシアンのゼータ正則化行列式に対する明示的公式を導出する。この曲面は、角尖り特異点を有する平坦な共形計量を備えたリーマン面である。従来の単純な零点をもつ正則微分形式に関する結果を一般化し、面積、周期行列の虚部、および一般化された τ 不変量を含む公式を、任意の角尖り角および零点と重ならない角尖り点配置に対して得る。

ABSTRACT

Compact polyhedral surfaces (or, equivalently, compact Riemann surfaces with conformal flat conical metrics) of an arbitrary genus are considered. After giving a short self-contained survey of their basic spectral properties, we study the zeta-regularized determinant of the Laplacian as a functional on the moduli space of these surfaces. An explicit formula for this determinant is obtained.

研究の動機と目的

• 種数 1 および正規化除数に限った平坦な角尖り計量におけるラプラシアン行列式に関する先行結果を、任意の genus および一般の角尖り点配置へと拡張すること。
• 角尖り特異点を有する平坦な曲面上のラプラシアンに関するスペクトル理論（自己随伴拡張、熱核漸近展開など）の完全なサーベイを提供すること。
• 所定の角尖り角を有する多面体的曲面のモジュライ空間上での関数として、ラプラシアンのゼータ正則化行列式の閉形式表現を導出すること。
• 角尖り計量におけるスペクトル正則化とリウヴィル型正則化の整合性に関する未解決問題を解き、スペクトル公式を確立すること。

提案手法

• Troyanov の定理を用いて、種数 g ≥ 1 のコンパクトなリーマン面に所定の角尖り特異点を有する平坦な共形角尖り計量を構成する。
• 所定の極を有する正則微分形式 ω_D を導入し、その周期を用いて平坦なラインバンドルと、多価正則切断 F_D を定義する。
• 原始形式および正規化された正則微分形式の理論を用いて、単純な零点をもつアーベル微分形式のための τ 不変量 τ(X,w) を構成する。
• τ の対数微分と、ベルグマン微分形式とアーベル微分形式のシュヴァーツィアンの差の間の関係を、輪環積分を用いて確立する。
• 「三つの多面体に関する補題」を適用し、局所パラメータが角尖り点に於いて関与する共形因子を介して、二つの異なる平坦計量（|w|² と m）におけるラプラシアンの行列式を関連付ける。
• 正規化ケースにおける Ray-Singer 型の公式に、角尖り点における局所パラメータ f_k および g_l を含む補正項を組み合わせることで、最終的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の genus を持つコンパクトな多面体的曲面（角尖り特異点を有する）のモジュライ空間上での関数として、ラプラシアンのゼータ正則化行列式はどのように表現できるか？
• RQ2 ラプラシアンのスペクトル行列式と、面積、周期行列、および τ 不変量を含む曲面の幾何学的性質との関係は何か？
• RQ3 正規化ケース（単純な零点をもつアーベル微分形式）から、任意の角尖り点配置および角尖り角へと行列式の公式をどのように一般化できるか？
• RQ4 角尖り点および微分形式の零点における局所パラメータが、行列式の公式をどのように修正するか？
• RQ5 スペクトル行列式は、正規化ケースを超えて、平坦な特異計量において一貫して定義され、計算可能か？

主な発見

• 種数 g > 1 のコンパクトな多面体的曲面上で、ラプラシアンのゼータ正則化行列式は、det Δ^m = C · Area(X,m) · det Im B · |τ(X,w)|² · ∏|g_l|^{1/6} / ∏|f_k|^{b_k/6} で与えられる。ここで C は角尖り角 b_k のみに依存する定数である。
• τ 不変量 τ(X,w) は、原始形式、正規化された正則微分形式、および所定の留数を有する正則微分形式から導かれる多価正則切断を用いて明示的に構成される。
• この公式は、高種数および特異計量への Ray-Singer 公式の一般化であり、補正項は微分形式および計量が角尖り点付近で示す局所的挙動に起因する。
• 行列式公式における定数 C はリーマン面や計量に依存せず、角尖り角 b_1,…,b_N のみに依存する。
• 導出過程により、角尖り計量におけるスペクトル正則化とリウヴィル積分アプローチとの整合性が確認され、以前の研究で未解決であった問題が解決された。
• 本手法により、角尖り点および微分形式の零点が重ならない限り、任意の配置に対して完全で明示的な公式が得られる。