[論文レビュー] Compactification of Drinfeld modular varieties and Drinfeld Modular Forms of Arbitrary Rank

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意のランクにおけるドリンフェルトモジュラー形式の関手的で代数幾何的な枠組みを確立し、ドリンフェルトモジュラー多様体のサタケコンパクト化を正規で射影的多様体として構成する。モジュラー形式は自然に拡張されたアーマイナスラインバンドルのベキの全体切断として定義され、コンパクト化の存在と一意性が証明され、ヘッケ作用素や自然な準同型との整合性が示される。主たる貢献は、すべてのランクおよびレベル構造にわたって、コンパクト化とラインバンドルの拡張を通じたモジュラー形式の体系的かつ内因的な特徴付けである。

ABSTRACT

We give an abstract characterization of the Satake compactification of a general Drinfeld modular variety. We prove that it exists and is unique up to unique isomorphism, though we do not give an explicit stratification by Drinfeld modular varieties of smaller rank which is also expected. We construct a natural ample invertible sheaf on it, such that the global sections of its $k$-th power form the space of (algebraic) Drinfeld modular forms of weight $k$. We show how the Satake compactification and modular forms behave under all natural morphisms between Drinfeld modular varieties; in particular we define Hecke operators. We give explicit results in some special cases.

研究の動機と目的

• 任意のランクにおけるドリンフェルトモジュラー形式の一般的で代数幾何学的な定義を、コンパクト化を用いて提供すること。
• ドリンフェルトモジュラー多様体のサタケコンパクト化が正規で射影的多様体として存在し、一意的であることを確立すること。
• コンパクト化上での自然に拡張されたアーマイナス可逆層のベキの全体切断としてモジュラー形式を定義すること。
• さまざまなモジュラー多様体間の自然な準同型、特にヘッケ作用素を含む、構成の整合性を保証すること。
• ランク2を越えて理論を拡張し、今後の研究における解析的幾何的対応の基盤を提供すること。

提案手法

• サタケコンパクト化を、元のモジュラー多様体が稠密な開部分多様体として含まれる正規で整域的かつ固有な多様体として公理的に特徴付ける。
• 普遍ドリンフェルト加群をコンパクト化空間上での弱く分離可能な一般化ドリンフェルト加群へ拡張することにより、コンパクト化を定義する。
• 拡張された普遍族の相対リー代数の双対として、標準的なアーマイナス可逆層 L を構成する。
• 重み k のモジュラー形式を H⁰(M, Lᵏ) として定義し、コンパクト性により次元が有限であることを保証する。
• コンパクト化が一意的同型を除き一意的であり、かつ射影的であることを証明する。
• 普遍族が存在しない場合（特に小さなレベル構造の場合）、商と不変量の構成を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のランクにおけるドリンフェルトモジュラー多様体の標準的サタケコンパクト化は存在するか？ また、一意的か？
• RQ2 任意の整数重みのモジュラー形式は、コンパクト化上での拡張ラインバンドルの全体切断として代数的に定義可能か？
• RQ3 この代数幾何学的枠組みにおいて、ヘッケ作用素はドリンフェルトモジュラー形式にどのように作用するか？
• RQ4 ドリンフェルトモジュラー多様体間のすべての自然な準同型に関して、構成が関手的になれるか？
• RQ5 例えば Fq[t] 上のレベル (t) に対して、モジュラー形式の環の構造はどのようなものか？

主な発見

• ランク r であるドリンフェルトモジュラー多様体のサタケコンパクト化は存在し、一意的同型を除き一意的であり、射影的である。
• 重み k のモジュラー形式の空間は、拡張された普遍ドリンフェルト加群の相対リー代数の双対 L に対して H⁰(M, Lᵏ) に同型である。
• A = Fq[t] かつレベル (t) の場合、サタケコンパクト化 Mr は射影空間 Pr−1_F に同型である。
• モジュラー形式の環 R(Mr) は Rr ⊗Fq F に同型であり、Cohen-Macaulay であり、Mk(Mr) の次元公式は二進数列の和を含む。
• 正則部分多様体上の標準的層は、Lr_Mr|Mr,reg ≅ ω(2·∂Mr) を満たし、境界で二重極を持つ微分形式と重み r のモジュラー形式を結びつける。
• K(t) ⊂ K ⊂ K₁(t) を満たすレベル構造 K に対して、Mk(Mr_Fq[t],K) の次元公式が導出され、群の商と二項係数を含む。