[論文レビュー] Compactification of the Bruhat-Tits building of PGL by lattices of smaller rank

Annette Werner|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、PGL(V) のブリュア・ティツ建物の新しいコンパクト化を、V の非自明な部分空間 W に対する PGL(W) 全てのブリュア・ティツ建物を境界として付加することによって構成する。この構成は、コンパクト部分群とコンパクト化されたアパルトメントの積の商を用い、コンパクトで可縮な G-空間を生じさせ、頂点が V 内の任意のランクの R-格子の同位類に一致する。

ABSTRACT

We construct a compactification of the Bruhat-Tits building associated to the group PGL(V) by attaching all the Bruhat-Tits buildings of PGL(W) for non-trivial subspaces W of V as a boundary.

研究の動機と目的

• PGL(V) のブリュア・ティツ建物の新しいコンパクト化を構成し、フルランクの格子を超えて拡張すること。
• 格子に基づく境界構造を用いて、ムムフォードの p-進シュットキー一様化を高次元に一般化すること。
• ボレル＝セルとランドヴォクトの構成とは異なる、明確な位相的および群論的性質を持つ幾何的コンパクト化を提供すること。
• コンパクト化空間内の頂点と V 内の任意の正のランクの R-格子の同位類との間の標準的同一視を確立すること。

提案手法

• 最大トーラス T に付随する1つのアパルトメント Λ を、T の商からの低次元アパルトメントを付加することでコンパクト化する。
• N を T の正規化群とするとき、コンパクト化されたアパルトメントに連続な N-作用を定義する。
• X̄ を U₀^∧ × Λ̄ の商として構成し、同値関係 (g,x) ~ (h,y) が、ある n ∈ N が存在して nx = y かつ g⁻¹hn ∈ Pₓ を満たす場合に限る。
• 各点 x ∈ X̄ に対して、G の部分群 Pₓ ⊆ G を定義し、これらの群に対する混合ブルア・ブレア分解を証明する。
• 部分空間と格子基底の同型を用いて、各 PGL(W) の建物から X̄ へのwell-definedな写像 j_W を定義する。
• すべての such j_W の和集合が、X̄ への G-同変で連続で、全射かつ単射な写像を、建物の直和から与えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V 内のより低いランクの格子を用いて、PGL(V) のブリュア・ティツ建物をどのようにコンパクト化できるか？
• RQ2 V の真部分空間 W ⊂ V 全ての PGL(W) 建物を含むコンパクト化の位相的および群論的構造は何か？
• RQ3 このコンパクト化は、ボレル＝セルおよびランドヴォクトのコンパクト化と、境界の挙動や線および直線の収束に関してどのように異なるか？
• RQ4 コンパクト化空間の頂点を、V 内の任意の正のランクの R-格子の同位類に標準的に同一視できるか？
• RQ5 元の建物の作用を拡張する自然な G-作用が、このコンパクト化に存在するか？

主な発見

• コンパクト化空間 X̄ は位相空間としてコンパクトで可縮である。
• X̄ には、元の建物 X に自然に拡張される連続的かつ G-同変な作用を持つ。
• 元の建物 X は X̄ の開かつ稠密な部分集合として埋め込まれる。
• X̄ の頂点は、V 内の任意の正のランクの R-格子の同位類の集合と G-同変な双対写像を持つ。
• コンパクト化 X̄ は、V の非ゼロ部分空間 W ⊂ V 全ての Bruhat-Tits 建物 X(PGL(W)) の直和と位相的に同相である。
• この構成により、商構成の根幹を成す安定化部分群 Pₓ に対する混合ブルア・ブレア分解が得られる。