[論文レビュー] Compactification of the isospectral varieties of nilpotent Toda lattices

Luis Casian, Yuji Kodama|ArXiv.org|Apr 19, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実分割単純リー代数における冪零Toda格子の同スペクトル多様体のコンパクト化を、旗多様体におけるユニポテンツ群の軌道（ペテルソン多様体）の閉包をとることで構成する。Toda格子の部分系に基づくセル分解を用い、図形に符号化された明示的なインシデント数を持つチェーン複体を構築し、有理コホモロジーを計算。Betti数は唯一3つの異なるパターンに従うことが示される。型$A$では、特異点を有するにもかかわらず、コンパクト化された多様体の有理コホモロジーは、対応するシューベルト多様体のそれと一致する。

ABSTRACT

The paper concerns a compactification of the isospectral varieties of nilpotent Toda lattices for real split simple Lie algebras. The compactification is obtained by taking the closure of unipotent group orbits in the flag manifolds. The unipotent group orbits are called the Peterson varieties and can be used in the complex case to describe the quantum cohomology of Grassmannian manifolds. We construct a chain complex based on a cell decomposition consisting of the subsystems of Toda lattices. Explicit formulae for the incidence numbers of the chain complex are found, and encoded in a graph containing an edge whenever an incidence number is non-zero. We then compute rational cohomology, and show that there are just three different patterns in the calculation of Betti numbers. Although these compactified varieties are singular, they resemble certain smooth Schubert varieties e.g. they both have a cell decomposition consiting of unipotent group orbits of the same dimensions. In particular, for the case of a Lie algebra of type $A$ the rational homology/cohomology obtained from the compactified isospectral variety of the nilpotent Toda lattice equals that of the corresponding Schubert variety.

研究の動機と目的

• 実分割単純リー代数における冪零Toda格子の同スペクトル多様体のコンパクト化を構成すること。
• コンパクト化を旗多様体におけるユニポテンツ群の軌道（ペテルソン多様体）の閉包として特徴付けること。
• Toda格子の部分系を用いたコンパクト化多様体のセル分解を構築すること。
• インシデント数を図形に符号化したチェーン複体を用いて、コンパクト化多様体の有理コホモロジーを計算すること。
• 型$A$において、コンパクト化された同スペクトル多様体の有理コホモロジーが、対応するシューベルト多様体のそれと一致することを示すこと。

提案手法

• コンパクト化は、旗多様体$G/B^+$におけるユニポテンツ群の軌道の閉包をとることで達成され、これらはペテルソン多様体として知られている。
• セル分解は、Toda格子の部分系、特にcodimension-one部分系に注目して構築される。
• セル分解からチェーン複体が構成され、インシデント数はリー代数およびルート系の構造を用いて明示的に計算される。
• インシデント数は、辺が非ゼロのインシデント数を表す有向グラフ$\mathcal{G}$に符号化される。
• 特定の型（例：$A$、$B$、$C$）では、二重チェーン複体構造が同定され、コホモロジー計算にスペクトル系列が利用可能になる。
• 有理コホモロジーはスペクトル系列および図形に基づく部分複体を用いて計算され、Betti数パターンの分類がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 冪零Toda格子の同スペクトル多様体は、可積分系の構造と代数幾何的性質を保ちつつ、どのようにコンパクト化可能か？
• RQ2 コンパクト化された同スペクトル多様体のセル分解構造は何か？また、Toda格子の部分系とどのように関係しているか？
• RQ3 コンパクト化された同スペクトル多様体の有理コホモロジーは何か？シューベルト多様体のそれと比べてどうか？
• RQ4 これらのコンパクト化多様体のBetti数に、異なるリー型にわたって普遍的なパターンはあるか？
• RQ5 コンパクト化された同スペクトル多様体は、コホモロジカルおよびセル構造の観点から、滑らかなシューベルト多様体にどの程度類似しているか？

主な発見

• コンパクト化された同スペクトル多様体は、旗多様体$G/B^+$におけるユニポテンツ群の軌道（ペテルソン多様体）の閉包として実現され、幾何的コンパクト化が得られる。
• コンパクト化多様体のセル分解はToda格子の部分系に基づき、インシデント数は明示的に計算され、有向グラフ$\mathcal{G}$に符号化される。
• 有理コホモロジーの計算から、すべての実分割単純リー代数においてBetti数列に現れるパターンはたった3通りに限られる。
• 型$A$では、コンパクト化された同スペクトル多様体の有理コホモロジーは、対応するシューベルト多様体のそれと同型であるが、コンパクト化多様体は特異的である。
• 型$A$、$B$、$C$では、二重チェーン複体構造に伴うスペクトル系列が収束し、部分グラフ$\mathcal{G}_{X_l}[0]$および$\mathcal{G}_{X_l}[*]$を用いて明示的なコホモロジー計算が可能になる。
• 型$D_l$（$l$が奇数）では、$p=1$でコホモロジーのパターンが崩れる（$H^k([0*])=0$のため）、予想されるBetti数列が変化し、スペクトル系列において特別な取り扱いが必要になる。