[論文レビュー] Compactifications of Semigroups and Semigroup Actions

Michael Megrelishvili|ArXiv.org|Nov 25, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト立方体 $ K = [0,1]^\omega $ 上の連続自己写像の半群 $ C(K,K) $ が、コンパクト開位相に関して、第二可算でコンパクト可能な半群として普遍的であることを確立している。さらに、この半群による $ K $ への作用は、$ S $ と $ X $ がともに分離可能で距離化可能であるようなすべての第二可算コンパクト可能な $ S $-フローにおいて普遍的であることが証明されており、ウスペンスキーの群の普遍性定理を半群の文脈に拡張している。

ABSTRACT

An action of a topological semigroup S on X is compactifiable if this action is a restriction of a jointly continuous action of S on a Hausdorff compact space Y. A topological semigroup S is compactifiable if the left action of S on itself is compactifiable. It is well known that every Hausdorff topological group is compactifiable. This result cannot be extended to the class of Tychonoff topological monoids. At the same time, several natural constructions lead to compactifiable semigroups and actions. We prove that the semigroup C(K,K) of all continuous selfmaps on the Hilbert cube K is a universal second countable compactifiable semigroup (semigroup version of Uspenskij's theorem). Moreover, the Hilbert cube K under the action of C(K,K) is universal in the realm of all compactifiable S-flows X with compactifiable S where both X and S are second countable. We strengthen some related results of Kocak & Strauss and Ferry & Strauss about Samuel compactifications of semigroups. Some results concern compactifications with separately continuous actions, LMC-compactifications and LMC-functions introduced by Mitchell.

研究の動機と目的

• 位相群の古典的コンパクト化理論を、一般には成り立たない位相半群へと拡張すること。
• 特に、それぞれの連続性または同時に連続な作用を含めた文脈において、半群作用および半群がコンパクト可能であるための十分かつ必要十分条件を特定すること。
• ウスペンスキーのホメオモルフィズム群に関する定理に類似した、コンパクト可能な半群およびその作用に関する普遍性結果を確立すること。
• 特にTychonoffモノイドや準位相群におけるコンパクト化の限界を明確にすること。
• 半群の文脈におけるサマエルコンパクト化、LMC-コンパクト化、行列係数に関する既存の結果を強化すること。

提案手法

• jointly 連続なコンパクト化を部分代数によって特徴付けるために、$ S $-コンパクト化および $ RUC_S(X) $（右一様連続関数の代数）の理論を用いる。
• 一様構造の技法を適用して、コンパクト化の必要十分条件を導出し、コカクとストラウス、フェリーとストラウスの結果を一般化する。
• エリス半群の構成を用いて、$ S $-フローのコンパクト化可能性を、適切な力学的コンパクト化の存在と関連付ける。
• 半群 $ C(K,K) $ を用いた普遍的例の構成により、これが第二可算コンパクト可能な $ S $-フローに関して普遍的であることを示す。
• $ \pi $-生成半群の構成を用いて反例を構築し、特定の状況での非コンパクト化可能性を示す。
• 距離化可能性、分離可能性、局所コンパクト性などの位相的性質とコンパクト化可能性の関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相群の古典的コンパクト化結果を位相半群へと拡張できるか。もしそうでないなら、その障害は何か。
• RQ2 位相半群またはその作用がコンパクト可能であるための必要十分条件は何か。
• RQ3 ウスペンスキーの群に関する結果に類似した、第二可算・分離可能・距離化可能なカテゴリーにおける普遍的コンパクト可能な半群は存在するか。
• RQ4 LMC-コンパクト化と、それぞれの連続性を持つ作用は、半群コンパクト化の広範な理論とどのように関係するか。
• RQ5 モノイド $ ([0,\infty), \cdot) $、ソルゲンフライ直線、またはノルム空間 $ E $ 上の強い作用素位相を備えた $ \Theta(E) $ の文脈におけるコンパクト化の限界は何か。

主な発見

• ヒルベルト立方体 $ K = [0,1]^\omega $ 上の連続自己写像の半群 $ C(K,K) $ は、コンパクト開位相を備えると、第二可算でコンパクト可能な半群として普遍的である。
• $ C(K,K) $ による $ K $ への作用は、$ S $ と $ X $ がともに分離可能で距離化可能なすべての第二可算コンパクト可能な $ S $-フローにおいて普遍的である。
• モノイド $ ([0,\infty), \cdot) $ は、$ LMC(S) $ による位相の決定に失敗するため、コンパクト化可能でなく、LMC-コンパクト化可能でもない。
• ソルゲンフライ直線 $ ({\mathbb{R}}_s, +) $ は、Tychonoffモノイドであるが、コンパクト化可能でない。その普遍的コンパクト化は実数直線のそれと一致する。
• ノルム空間 $ E $ 上の収縮線形作用素のモノイド $ \Theta(E) $ は、ノルム位相ではコンパクト化可能であるが、強い作用素位相ではそうではない。しかし、その逆半群は常にコンパクト化可能である。
• ある種のバナッハ空間 $ V $ に対して $ \Theta(V) $ は半コンパクト化可能でないことが存在し、線形作用素半群ですらコンパクト化可能でないことがあることを示している。